ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 10.9 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Высоту конуса разделили на 4 равных отрезка и через точки деления провели плоскости, параллельные основанию конуса. Найдите площадь наибольшего из образовавшихся сечений конуса, если площадь его основания равна \(S\).

Высоту конуса разделили на 4 равных части, значит радиусы сечений пропорциональны расстоянию от вершины: \( r_i = r \frac{h_i}{h} \).

Площадь сечения равна \( S_i = \pi r_i^2 = S \left(\frac{h_i}{h}\right)^2 \).

Для сечения на высоте \( \frac{3h}{4} \) площадь будет \( S_3 = S \frac{9}{16} \).

Высоту конуса разделили на 4 равных отрезка, значит точки деления находятся на высотах \( \frac{h}{4} \), \( \frac{2h}{4} = \frac{h}{2} \), \( \frac{3h}{4} \) от вершины конуса. Плоскости, проведённые через эти точки параллельно основанию, пересекают конус сечениями, которые являются кругами. Радиус каждого такого круга пропорционален расстоянию от вершины, так как конус сужается линейно. Если радиус основания равен \( r \), то радиус сечения на высоте \( h_i \) будет равен \( r_i = r \cdot \frac{h_i}{h} \).

Площадь круга с радиусом \( r_i \) равна \( S_i = \pi r_i^2 \). Подставляя выражение для \( r_i \), получаем \( S_i = \pi \left(r \cdot \frac{h_i}{h}\right)^2 = \pi r^2 \left(\frac{h_i}{h}\right)^2 \). Поскольку площадь основания конуса равна \( S = \pi r^2 \), то площадь сечения можно выразить через площадь основания: \( S_i = S \left(\frac{h_i}{h}\right)^2 \).

Для сечения на высоте \( \frac{3h}{4} \) площадь будет равна \( S_3 = S \left(\frac{3}{4}\right)^2 = S \cdot \frac{9}{16} \). Таким образом, площадь сечения, проведённого через точку, делящую высоту конуса на три четверти, составляет \( \frac{9}{16} \) от площади основания.