ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 11.1 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 12 см, а боковое ребро — 8 см. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около данной пирамиды.

Сторона основания пирамиды равна 12 см, боковое ребро 8 см. Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами 8 см.

Площадь осевого сечения вычисляется по формуле площади правильного треугольника с длиной стороны 8:

\(S_{ос.сеч.} = \frac{8^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{64 \sqrt{3}}{4} = 16 \sqrt{3}\) см².

Основание пирамиды — правильный треугольник со стороной 12 см. Боковое ребро пирамиды равно 8 см. Конус, описанный около пирамиды, имеет осевое сечение, которое проходит через вершину пирамиды и центр основания. Это сечение будет равнобедренным треугольником, у которого основание равно стороне основания пирамиды, а боковые стороны равны боковым ребрам пирамиды.

Для вычисления площади осевого сечения сначала определим длину боковых сторон — они равны 8 см. Основание сечения — 12 см. Однако для правильного треугольника, образующего основание пирамиды, осевое сечение будет проходить через середину основания, и фактически боковые стороны сечения равны боковому ребру пирамиды, то есть 8 см. Площадь равнобедренного треугольника с боковыми сторонами 8 см и основанием 12 см можно найти через высоту, которую вычисляем по теореме Пифагора.

Высота \(h\) равнобедренного треугольника с основанием \(a = 12\) и боковой стороной \(b = 8\) вычисляется как \(h = \sqrt{b^2 — \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{8^2 — 6^2} = \sqrt{64 — 36} = \sqrt{28} = 2 \sqrt{7}\). Площадь равнобедренного треугольника равна \(S = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} \times 12 \times 2 \sqrt{7} = 12 \sqrt{7}\) см².

Однако в условии правильной треугольной пирамиды боковые ребра равны 8 см, и осевое сечение является равносторонним треугольником со стороной 8 см, так как боковые ребра соединены с вершиной пирамиды. Площадь такого равностороннего треугольника вычисляется по формуле \(S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\). Подставляя \(a = 8\), получаем \(S = \frac{8^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{64 \sqrt{3}}{4} = 16 \sqrt{3}\) см².