ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 11.10 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Около конуса описана правильная четырёхугольная пирамида, сторона основания которой равна \(a\), а боковое ребро образует с плоскостью основания угол \(\alpha\). Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Дано основание квадрата со стороной \(a\) и угол между боковым ребром и основанием \(\alpha\).

Найдем \(OC = \frac{a \sqrt{2}}{2}\).

Из треугольника \(SOC\) имеем \(SO = OC \cdot \tan \alpha = \frac{a \sqrt{2}}{2} \tan \alpha\).

Вычислим высоту боковой грани \(SW = \sqrt{SO^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{a}{2} \sqrt{2 \tan^2 \alpha + 1}\).

Площадь боковой поверхности \(S_{бок} = \frac{P \cdot l}{2} = \frac{4a \cdot SW}{2} = 2a \cdot \frac{a}{2} \sqrt{2 \tan^2 \alpha + 1} = \frac{\pi a^2 \sqrt{2 — \cos^2 \alpha}}{4 \cos \alpha}\).

Основание пирамиды представляет собой квадрат со стороной \(a\). Для того чтобы найти площадь боковой поверхности, необходимо сначала определить геометрические величины, связанные с этим квадратом и боковыми гранями пирамиды. Центральной точкой основания является точка \(O\), а точка \(C\) — середина одной из сторон квадрата. Расстояние \(OC\) — это половина диагонали квадрата, так как диагональ делится точкой \(O\) пополам. Диагональ квадрата вычисляется по формуле \(a \sqrt{2}\), следовательно, \(OC = \frac{a \sqrt{2}}{2}\). Это расстояние важно, так как оно помогает выразить боковое ребро через угол наклона.

Далее рассмотрим треугольник \(SOC\), где \(S\) — вершина пирамиды, \(O\) — центр основания, а \(C\) — середина стороны квадрата. Боковое ребро \(SO\) образует с плоскостью основания угол \(\alpha\). По определению тангенса угла, который равен отношению противолежащего катета к прилежащему, можно записать \(SO = OC \cdot \tan \alpha\). Подставляя найденное значение \(OC\), получаем \(SO = \frac{a \sqrt{2}}{2} \tan \alpha\). Это выражение показывает, как длина бокового ребра зависит от стороны основания и угла наклона.

Чтобы найти высоту боковой грани, обозначим ее как \(SW\), где \(W\) — середина стороны основания. В треугольнике \(SOW\) по теореме Пифагора высота боковой грани вычисляется как \(SW = \sqrt{SO^2 + OW^2}\), где \(OW = \frac{a}{2}\). Подставляя выражения, получаем \(SW = \sqrt{\left(\frac{a \sqrt{2}}{2} \tan \alpha\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{a}{2} \sqrt{2 \tan^2 \alpha + 1}\). Эта апофема является ключевой для вычисления площади боковой поверхности. Площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на апофему, то есть \(S_{бок} = \frac{4a \cdot SW}{2} = 2a \cdot \frac{a}{2} \sqrt{2 \tan^2 \alpha + 1} = a^2 \sqrt{2 \tan^2 \alpha + 1}\).

Для более точного выражения площади боковой поверхности преобразуем тригонометрическое выражение с использованием тождеств. В частности, используя формулы для тангенса и косинуса, можно показать, что \( \sqrt{2 \tan^2 \alpha + 1} = \frac{\sqrt{2 — \cos^2 \alpha}}{\cos \alpha} \). Подставляя это в формулу площади, получаем окончательное выражение: \(S_{бок} = \frac{\pi a^2 \sqrt{2 — \cos^2 \alpha}}{4 \cos \alpha}\). Это выражение связывает площадь боковой поверхности с длиной стороны основания и углом наклона бокового ребра к основанию, позволяя вычислить площадь при известных параметрах.