ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 11.11 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Около конуса описана правильная треугольная пирамида, сторона основания которой равна \(a\), а боковое ребро образует с плоскостью основания угол \(\alpha\). Найдите площадь боковой поверхности конуса.

В правильном треугольнике высота основания \(CO = \frac{a \sqrt{3}}{3}\).

В треугольнике \(SOC\) по определению тангенса угла \( \alpha \) имеем \( \tan \alpha = \frac{SO}{CO} \), отсюда \( SO = \frac{a \sqrt{3}}{3} \tan \alpha \).

По теореме Пифагора в треугольнике \(SOV\) боковое ребро \(SV = \sqrt{SO^2 + OV^2} = a \sqrt{\frac{4 \tan^2 \alpha + 3}{12}} \).

Площадь боковой поверхности конуса \(S_{\text{бок}} = \pi r l = \pi \frac{a \sqrt{3}}{3} \cdot a \sqrt{\frac{4 \tan^2 \alpha + 3}{12}} = \pi a^2 \frac{\sqrt{4 — 3 \cos^2 \alpha}}{12 \cos \alpha}\).

1. В правильном треугольнике длина высоты \(CO\), опущенной из вершины \(C\) на сторону основания, равна \(CO = \frac{a \sqrt{3}}{3}\), где \(a\) — длина стороны треугольника. Это следует из свойств правильного треугольника, где высота делит сторону пополам и образует прямоугольный треугольник с углом 60°.

2. Рассмотрим треугольник \(SOC\), где \(SO\) — высота пирамиды, а угол между боковым ребром и плоскостью основания равен \(\alpha\). По определению тангенса угла наклона, имеем \( \tan \alpha = \frac{SO}{CO} \), откуда следует, что \( SO = CO \times \tan \alpha = \frac{a \sqrt{3}}{3} \tan \alpha \). Это выражение связывает высоту пирамиды с углом наклона бокового ребра.

3. В треугольнике \(SOV\) боковое ребро \(SV\) вычисляется по теореме Пифагора как \( SV = \sqrt{SO^{2} + OV^{2}} \). Из геометрии основания известно, что \(OV = \frac{a}{2}\). Подставляя значения, получаем \( SV = \sqrt{\left(\frac{a \sqrt{3}}{3} \tan \alpha\right)^{2} + \left(\frac{a}{2}\right)^{2}} = a \sqrt{\frac{4 \tan^{2} \alpha + 3}{12}} \). Это выражение показывает, как образующая \(SV\) зависит от стороны основания и угла наклона.

4. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле \( S_{\text{бок}} = \pi r l \), где \(r\) — радиус основания, а \(l\) — образующая. Радиус основания равен \( r = \frac{a \sqrt{3}}{3} \), а образующая \( l = SV = a \sqrt{\frac{4 \tan^{2} \alpha + 3}{12}} \). Подставляя эти значения, получаем

\( S_{\text{бок}} = \pi \times \frac{a \sqrt{3}}{3} \times a \sqrt{\frac{4 \tan^{2} \alpha + 3}{12}} = \pi a^{2} \frac{\sqrt{4 — 3 \cos^{2} \alpha}}{12 \cos \alpha} \),

где использовано преобразование через тригонометрические тождества для упрощения.