ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 11.12 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основание пирамиды — прямоугольник, меньшая из сторон которого равна \(a\), а угол между диагоналями равен \(\alpha\). Все боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом \(\beta\). Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.т с плоскостью основания угол \(\alpha\). Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Основание пирамиды — прямоугольник с меньшей стороной \(a\) и углом между диагоналями \(\alpha\). Половина диагонали основания равна \(r\), тогда по теореме косинусов:

\(a^2 = 2 r^2 (1 — \cos \alpha)\),

откуда

\(r = \frac{a}{\sqrt{2 — 2 \cos \alpha}}\).

Боковое ребро пирамиды образует угол \(\beta\) с плоскостью основания. Его длина \(SC\) связана с радиусом основания через косинус угла:

\(\cos \beta = \frac{r}{SC}\),

значит

\(SC = \frac{r}{\cos \beta} = \frac{a}{\sqrt{2 — 2 \cos \alpha} \cos \beta}\).

Площадь боковой поверхности конуса равна

\(S = \pi r SC = \pi \cdot \frac{a}{\sqrt{2 — 2 \cos \alpha}} \cdot \frac{a}{\sqrt{2 — 2 \cos \alpha} \cos \beta} = \frac{\pi a^2}{(2 — 2 \cos \alpha) \cos \beta}\).

Используя формулу двойного угла, получаем

\(S = \frac{\pi a^2}{4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos \beta}\).

Основание пирамиды — прямоугольник, меньшая сторона которого равна \(a\), а угол между диагоналями равен \(\alpha\). Для начала рассмотрим треугольник, образованный диагоналями основания. Диагонали равны по длине и пересекаются под углом \(\alpha\). Обозначим половину диагонали через \(r\). Тогда по теореме косинусов для треугольника с углом \(\alpha\) между диагоналями имеем равенство:

\(a^2 = 2 r^2 (1 — \cos \alpha)\).

Отсюда выразим \(r\):

\(r = \frac{a}{\sqrt{2 — 2 \cos \alpha}}\).

Это длина половины диагонали основания, которая будет радиусом основания описанного конуса.

Далее рассмотрим боковое ребро пирамиды, наклонённое к плоскости основания под углом \(\beta\). Обозначим длину бокового ребра через \(SC\). В треугольнике с вершиной в точке \(S\) и основанием в плоскости основания, угол между боковым ребром и плоскостью равен \(\beta\). По определению косинуса угла наклона:

\(\cos \beta = \frac{OC}{SC}\),

где \(OC\) — проекция бокового ребра на плоскость основания, равная \(r\). Следовательно, длина бокового ребра равна

\(SC = \frac{r}{\cos \beta} = \frac{a}{\sqrt{2 — 2 \cos \alpha} \cos \beta}\).

Теперь найдём площадь боковой поверхности конуса, описанного около пирамиды. Формула площади боковой поверхности конуса:

\(S = \pi r l\),

где \(r\) — радиус основания конуса, а \(l\) — образующая конуса, совпадающая с боковым ребром пирамиды \(SC\). Подставляя значения, получаем:

\(S = \pi \cdot \frac{a}{\sqrt{2 — 2 \cos \alpha}} \cdot \frac{a}{\sqrt{2 — 2 \cos \alpha} \cos \beta} = \frac{\pi a^2}{4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos \beta}\),

так как \(2 — 2 \cos \alpha = 4 \sin^2 \frac{\alpha}{2}\) по формуле двойного угла. Таким образом, площадь боковой поверхности конуса выражается формулой

\(S = \frac{\pi a^2}{4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos \beta}\).