ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 11.13 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетом \(b\) и прилежащим к нему острым углом \(\alpha\). Все боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом \(\phi\). Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетом \(b\) и углом \(\alpha\). Радиус описанной окружности равен \(R = \frac{b}{2 \cos \alpha}\).

Высота конуса связана с углом \(\phi\) наклона боковых рёбер: \(h = R \tan \phi\).

Образующая конуса \(l = \sqrt{h^2 + R^2} = \frac{b}{2 \cos \alpha \cos \phi}\).

Площадь боковой поверхности конуса \(S_{\text{бок}} = \pi R l = \frac{\pi b^2}{4 \cos^2 \alpha \cos \phi}\).

Основание пирамиды представляет собой прямоугольный треугольник с катетом \(b\) и острым углом \(\alpha\), прилегающим к этому катету. Для начала нужно найти радиус описанной окружности вокруг основания. В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы. Гипотенуза находится по формуле \(c = \frac{b}{\cos \alpha}\), следовательно, радиус описанной окружности будет \(R = \frac{c}{2} = \frac{b}{2 \cos \alpha}\).

Далее, все боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом \(\phi\). Это означает, что высота конуса, описанного около пирамиды, связана с радиусом основания и углом наклона. Высота конуса равна \(h = R \tan \phi = \frac{b}{2 \cos \alpha} \tan \phi\). Для вычисления площади боковой поверхности конуса необходимо найти длину образующей \(l\), которая является гипотенузой треугольника с катетами \(R\) и \(h\). По теореме Пифагора \(l = \sqrt{h^2 + R^2} = \sqrt{\left(\frac{b}{2 \cos \alpha} \tan \phi\right)^2 + \left(\frac{b}{2 \cos \alpha}\right)^2}\).

Упростив выражение под корнем, получаем \(l = \frac{b}{2 \cos \alpha} \sqrt{\tan^2 \phi + 1}\). Так как \(\sqrt{1 + \tan^2 \phi} = \frac{1}{\cos \phi}\), длина образующей равна \(l = \frac{b}{2 \cos \alpha \cos \phi}\). Площадь боковой поверхности конуса определяется формулой \(S_{\text{бок}} = \pi R l\). Подставляя найденные значения, получаем \(S_{\text{бок}} = \pi \cdot \frac{b}{2 \cos \alpha} \cdot \frac{b}{2 \cos \alpha \cos \phi} = \frac{\pi b^2}{4 \cos^2 \alpha \cos \phi}\).