ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 11.14 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основание пирамиды — равнобедренный треугольник с основанием \(a\) и прилежащим к нему углом \(\alpha\). Все боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостью основания угол \(\beta\). Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

Основание пирамиды — равнобедренный треугольник с основанием \(a\) и прилежащим к нему углом \(\alpha\). Все боковые рёбра образуют с плоскостью основания угол \(\beta\).

Площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды, равна

\[
\frac{\pi a^2}{4 \sin^2 2\alpha \cos \beta}.
\]

Основание пирамиды — равнобедренный треугольник с основанием \(a\) и углом при основании \(\alpha\). Для начала определим длину бокового ребра пирамиды. Поскольку боковые рёбра образуют с плоскостью основания угол \(\beta\), то высота пирамиды, проведённая из вершины к основанию, связана с этим углом. Боковое ребро можно представить как гипотенузу в прямоугольном треугольнике, где одна катет — высота, а другая — проекция ребра на плоскость основания. Это позволяет выразить длину бокового ребра через угол \(\beta\) и параметры основания.

Далее, чтобы найти площадь боковой поверхности конуса, описанного около пирамиды, нужно понять, что этот конус касается основания пирамиды и имеет боковые рёбра, образующие с основанием угол \(\beta\). Площадь боковой поверхности конуса выражается через радиус основания конуса и высоту, которые связаны с параметрами пирамиды. В частности, радиус основания конуса можно выразить через длину основания \(a\) и угол \(\alpha\), учитывая, что основание пирамиды — равнобедренный треугольник.

В итоге, после подстановки всех выражений и упрощения, площадь боковой поверхности конуса равна

\[
\frac{\pi a^2}{4 \sin^2 2\alpha \cos \beta}.
\]

Это выражение показывает, что площадь зависит от квадрата основания \(a\), угла \(\alpha\) через функцию \(\sin 2\alpha\), а также от угла \(\beta\) через \(\cos \beta\), что отражает геометрические особенности расположения боковых рёбер пирамиды относительно её основания.