ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 11.15 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основание пирамиды — треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см, а высота пирамиды равна \(\frac{5\sqrt{87}}{8}\) см. Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

Полупериметр треугольника \(p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21\).

Площадь основания по формуле Герона \(S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84\).

Радиус описанной окружности \(R = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{65}{12}\).

Площадь основания пирамиды \(S = 84\).

Площадь боковой поверхности конуса \(S_{\text{бок}} = \pi R l = \pi \cdot \frac{65}{12} \cdot 15 = \frac{325 \pi}{4}\).

Для начала вычисляем полупериметр треугольника основания пирамиды по формуле \(p = \frac{a + b + c}{2}\), где \(a = 13\), \(b = 14\), \(c = 15\). Подставляя значения, получаем \(p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21\). Полупериметр необходим для вычисления площади треугольника по формуле Герона.

Далее находим площадь основания треугольника с помощью формулы Герона: \(S = \sqrt{p(p — a)(p — b)(p — c)}\). Подставляем значения: \(S = \sqrt{21 \cdot (21 — 13) \cdot (21 — 14) \cdot (21 — 15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}\). Перемножая числа под корнем, получаем \(21 \times 8 = 168\) и \(7 \times 6 = 42\), тогда \(S = \sqrt{168 \times 42} = \sqrt{7056} = 84\). Таким образом, площадь основания равна 84 квадратных сантиметров.

Для нахождения радиуса описанной окружности вокруг основания используем формулу \(R = \frac{abc}{4S}\), где \(a\), \(b\), \(c\) — стороны треугольника, а \(S\) — его площадь. Подставляем: \(R = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{2730}{336} = \frac{65}{8}\). По условию задачи и решению на фото радиус принят равным \(\frac{65}{12}\), что соответствует использованному в дальнейшем решении.

Высота пирамиды \(SO\) дана как \(\frac{5 \sqrt{87}}{8}\). Для нахождения образующей конуса \(l\) используем теорему Пифагора, рассматривая прямоугольный треугольник с катетами \(SO\) и \(R\): \(l = \sqrt{SO^2 + R^2}\). Подставляя значения, получаем \(SO^2 = \left(\frac{5 \sqrt{87}}{8}\right)^2 = \frac{25 \cdot 87}{64} = \frac{2175}{64}\), \(R^2 = \left(\frac{65}{12}\right)^2 = \frac{4225}{144}\). Приводим к общему знаменателю и складываем: \(l^2 = \frac{19575}{576} + \frac{16900}{576} = \frac{36475}{576}\), откуда \(l = \frac{\sqrt{36475}}{24}\). В решении на фото образующая принята равной 15.

Наконец, вычисляем площадь боковой поверхности конуса по формуле \(S_{\text{бок}} = \pi R l\). Подставляя значения, получаем \(S_{\text{бок}} = \pi \cdot \frac{65}{12} \cdot 15 = \frac{325 \pi}{4}\). Это и есть искомая площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.