ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 11.16 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если в пирамиду \(MABCD\) можно вписать конус, то сумма площадей граней \(AMB\) и \(CMD\) равна сумме площадей граней \(AMD\) и \(BMC\).

Пусть \(ABCD\) — квадрат, \(O\) — центр вписанной окружности.

Тогда \(S_{AMB} + S_{CMD} = S_{AMD} + S_{BMC}\).

Так как \(ABCD\) — квадрат и \(O\) — центр вписанной окружности, то площади треугольников с вершиной \(M\) и основаниями на сторонах \(ABCD\) связаны равенством:

\(S_{AMB} + S_{CMD} = S_{AMD} + S_{BMC}\).

Пусть в пирамиду \(MABCD\) можно вписать конус, то есть существует окружность, касающаяся всех боковых граней пирамиды. Это означает, что каждая боковая грань касается общей окружности, вписанной в соответствующую плоскость. Рассмотрим площади треугольников, образованных вершиной \(M\) и сторонами основания \(ABCD\): \(S_{AMB}\), \(S_{BMC}\), \(S_{CMD}\), \(S_{AMD}\).

Поскольку конус вписан, то основание \(ABCD\) является вписанным четырёхугольником, для которого известно равенство сумм противоположных сторон: \(AB + CD = AD + BC\). Это свойство влияет на соотношение площадей треугольников, так как площадь треугольника с вершиной \(M\) и основанием на стороне четырёхугольника пропорциональна длине этой стороны при фиксированной высоте, проведённой из точки \(M\).

Из этого следует, что сумма площадей треугольников, образованных противоположными сторонами, равна: \(S_{AMB} + S_{CMD} = S_{AMD} + S_{BMC}\). Это равенство отражает баланс площадей, возникающий из условий вписанного конуса и свойств вписанного четырёхугольника, что и требовалось доказать.