ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 11.17 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Двугранный угол правильной треугольной пирамиды при ребре основания равен \(\alpha\), а расстояние от центра основания до боковой грани равно \(t\). Найдите площадь боковой поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду.

Двугранный угол при ребре основания равен \(\alpha\), расстояние от центра основания до боковой грани равно \(m\).

В треугольнике \(NKO\) по определению синуса двугранного угла: \(\sin \alpha = \frac{m}{OH}\), откуда \(OH = \frac{m}{\sin \alpha}\).

Площадь боковой поверхности конуса равна \(S_{\text{бок}} = \pi r l\).

Подставляя \(r = OH\), получаем \(S_{\text{бок}} = \pi \frac{m^2}{\sin^2 \alpha \cos \alpha}\).

Двугранный угол при ребре основания правильной треугольной пирамиды обозначен как \(\alpha\), а расстояние от центра основания \(O\) до боковой грани равно \(m\). Чтобы найти площадь боковой поверхности конуса, вписанного в эту пирамиду, сначала нужно определить радиус основания конуса. Для этого рассмотрим плоскость, в которой лежит двугранный угол, и перпендикуляр, опущенный из центра основания пирамиды.

В треугольнике \(NKO\), где \(N\) и \(K\) — точки пересечения боковой грани с основанием, а \(O\) — центр основания, по определению синуса двугранного угла при ребре имеем равенство \(\sin \alpha = \frac{m}{OH}\). Отсюда следует, что \(OH = \frac{m}{\sin \alpha}\). Это расстояние \(OH\) является радиусом основания конуса, так как конус вписан в пирамиду и его основание касается боковой грани на этом расстоянии.

Далее, площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле \(S_{\text{бок}} = \pi r l\), где \(r\) — радиус основания конуса, а \(l\) — образующая конуса. Образующая связана с углом \(\alpha\) и расстоянием \(m\), и с учетом геометрии пирамиды выражается через \(\cos \alpha\). В итоге получается формула \(S_{\text{бок}} = \pi \frac{m^2}{\sin^2 \alpha \cos \alpha}\), которая учитывает как радиус основания, так и высоту образующей конуса, определяемую параметрами пирамиды.