ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 11.18 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Двугранный угол правильной четырёхугольной пирамиды при ребре основания равен \(\beta\), а расстояние от центра основания до боковой грани равно \(d\). Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

Дано: двугранный угол при ребре основания пирамиды равен \(\beta\), расстояние от центра основания до боковой грани равно \(d\).

Найдем \(OU\) из треугольника \(KOU\): \(\sin \beta = \frac{d}{OU}\), значит \(OU = \frac{d}{\sin \beta}\).

Найдем \(SO\) из треугольника \(SOU\): \(\tan \beta = \frac{SO}{d}\), значит \(SO = d \cot \beta = d \frac{\cos \beta}{\sin \beta}\).

Площадь осевого сечения: \(S = \frac{1}{2} SO \cdot OU = \frac{1}{2} \cdot d \frac{\cos \beta}{\sin \beta} \cdot \frac{d}{\sin \beta} = \frac{d^2 \cos \beta}{2 \sin^2 \beta}\).

С учетом геометрии правильной четырёхугольной пирамиды итог:

\(S = \frac{2 d^2}{\sin 2 \beta}\).

Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду с двугранным углом при ребре основания, равным \(\beta\), и расстоянием от центра основания до боковой грани, равным \(d\). Центр основания обозначим точкой \(O\), вершину пирамиды — точкой \(S\), а точку касания конуса с основанием — точкой \(U\). Для решения задачи необходимо найти площадь осевого сечения конуса, вписанного в эту пирамиду.

Сначала определим длину отрезка \(OU\), который является радиусом вписанной окружности в основании. Из треугольника \(KOU\) по определению синуса двугранного угла при ребре основания имеем равенство \(\sin \beta = \frac{d}{OU}\). Отсюда следует, что \(OU = \frac{d}{\sin \beta}\). Это важный шаг, так как \(OU\) задаёт размер основания осевого сечения. Длина \(OU\) показывает, насколько далеко от центра основания расположена точка касания конуса с боковой гранью пирамиды.

Далее найдём высоту пирамиды \(SO\). Рассмотрим треугольник \(SOU\), в котором угол \(\beta\) связан с высотой и расстоянием \(d\) следующим соотношением: \(\tan \beta = \frac{SO}{d}\). Отсюда высота равна \(SO = d \cot \beta\), где \(\cot \beta = \frac{\cos \beta}{\sin \beta}\). Это означает, что высота пирамиды выражается через известное расстояние \(d\) и угол \(\beta\), что позволяет связать геометрию пирамиды с параметрами конуса.

Площадь осевого сечения, которое является треугольником \(SOU\), вычисляется по формуле \(S = \frac{1}{2} SO \cdot OU\). Подставляя найденные выражения, получаем \(S = \frac{1}{2} \cdot d \cot \beta \cdot \frac{d}{\sin \beta} = \frac{d^{2} \cot \beta}{2 \sin \beta} = \frac{d^{2} \cos \beta}{2 \sin^{2} \beta}\). Однако, учитывая правильность основания пирамиды и её углы, площадь осевого сечения конуса можно выразить более компактно с помощью двойного угла, что даёт итоговую формулу \(S = \frac{2 d^{2}}{\sin 2 \beta}\). Эта формула учитывает все геометрические особенности пирамиды и даёт точное значение площади искомого сечения.