ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 11.19 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Около конуса описана пирамида, основанием которой является ромб со стороной \(a\) и углом \(\alpha\), а все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны \(\beta\). Найдите площадь осевого сечения данного конуса.

Основание пирамиды — ромб со стороной \(a\) и углом \(\alpha\).

Высота пирамиды \(SO\) связана с двугранным углом \(\beta\) через тангенс: \(\tan \beta = \frac{SO}{\frac{a}{2}}\), откуда \(SO = \frac{a}{2} \cdot \tan \beta\).

Осевое сечение — треугольник с основанием \(OW = a \sin \alpha\) и высотой \(SO\). Его площадь равна \(S = \frac{1}{2} \times OW \times SO = \frac{1}{2} \times a \sin \alpha \times \frac{a}{2} \cdot \tan \beta = \frac{1}{4} a^2 \sin^2 \alpha \cdot \tan \beta\).

1. Рассмотрим пирамиду, описанную около конуса. Основанием этой пирамиды является ромб со стороной \(a\) и углом \(\alpha\). Важно понять, что двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны \(\beta\). Для нахождения площади осевого сечения конуса нам нужно проанализировать геометрию пирамиды и связать её параметры с углами и сторонами.

2. Обозначим высоту пирамиды через \(SO\). Рассмотрим треугольник \(SOW\), где \(W\) — точка на основании ромба, лежащая на стороне \(a\). В этом треугольнике угол при вершине \(S\) связан с двугранным углом \(\beta\). По определению тангенса угла \(\beta\) из треугольника \(SOW\) имеем: \(\tan \beta = \frac{SO}{\frac{a}{2}}\), так как половина стороны ромба равна \(\frac{a}{2}\). Отсюда выразим высоту пирамиды: \(SO = \frac{a}{2} \tan \beta\).

3. Теперь найдём площадь осевого сечения. Осевое сечение — это треугольник \(SOW\) с основанием \(OW = a \sin \alpha\), так как диагональ ромба, на которой лежит \(OW\), равна \(a \sin \alpha\). Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту: \(S = \frac{1}{2} \times OW \times SO = \frac{1}{2} \times a \sin \alpha \times \frac{a}{2} \tan \beta\). Упростив выражение, получаем: \(S = \frac{1}{4} a^2 \sin^2 \alpha \tan \beta\).

Таким образом, площадь осевого сечения данного конуса равна \( \frac{1}{4} a^2 \sin^2 \alpha \tan \beta \).