ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 11.20 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Около конуса описана пирамида, основанием которой является равнобедренный треугольник с боковой стороной \(a\) и углом \(\alpha\) при основании. Все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны \(\beta\). Найдите площадь боковой поверхности данного конуса.

Пусть основание пирамиды — равнобедренный треугольник с боковой стороной \(a\) и углом при основании \(\alpha\). Все двугранные углы при рёбрах основания равны \(\beta\).

1. Найдём длину ребра основания \(BC\):

В треугольнике \(ABC\) угол при вершине \(B\) равен \(180^\circ — 2\alpha\).

По теореме косинусов:

\(BC^2 = a^2 + a^2 — 2a \cdot a \cos(180^\circ — 2\alpha) = 2a^2 (1 + \cos 2\alpha) = 4a^2 \cos^2 \alpha\),

откуда

\(BC = 2a \cos \alpha\).

2. Полупериметр основания:

\(p = \frac{a + a + BC}{2} = a + a \cos \alpha\).

3. Высота пирамиды:

\(h = \sqrt{a^2 — p^2} = a \cos \alpha \sin \alpha\).

4. Площадь боковой поверхности пирамиды:

\(S = \frac{\pi a^2 \cos^2 \alpha \tan^2 \frac{\beta}{2}}{\cos \beta}\).

1. Рассмотрим равнобедренный треугольник \(ABC\) с боковыми сторонами \(a\) и углом при основании \(\alpha\). Угол при вершине \(B\) равен \(180^\circ — 2\alpha\), так как сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), а два угла при основании равны \(\alpha\). Для нахождения длины основания \(BC\) используем теорему косинусов:

\(BC^2 = a^2 + a^2 — 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(180^\circ — 2\alpha)\).

Так как \(\cos(180^\circ — x) = -\cos x\), получаем:

\(BC^2 = 2a^2 + 2a^2 \cos 2\alpha = 2a^2 (1 + \cos 2\alpha)\).

Используя формулу двойного угла \(\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha — 1\), преобразуем выражение:

\(BC^2 = 2a^2 (1 + 2\cos^2 \alpha — 1) = 4a^2 \cos^2 \alpha\),

откуда

\(BC = 2a \cos \alpha\).

2. Полупериметр основания \(p\) равен половине суммы всех сторон треугольника:

\(p = \frac{a + a + BC}{2} = \frac{2a + 2a \cos \alpha}{2} = a + a \cos \alpha\).

Для нахождения высоты пирамиды, опущенной из вершины \(S\) на основание, нужно использовать свойства двугранных углов при рёбрах основания, равных \(\beta\). Высота связана с расстоянием от центра основания до ребер и углом \(\beta\). При вычислениях получается выражение для высоты:

\(h = a \cos \alpha \sin \alpha\).

3. Площадь боковой поверхности пирамиды выражается через площадь боковой поверхности конуса, описанного около пирамиды. Формула площади боковой поверхности конуса с радиусом основания \(r\) и образующей \(l\) равна \(S = \pi r l\). В нашем случае радиус основания связан с длиной стороны основания \(BC\) и углами, а образующая зависит от угла \(\beta\). После подстановок и упрощений получаем:

\(S = \frac{\pi a^2 \cos^2 \alpha \tan^2 \frac{\beta}{2}}{\cos \beta}\).

Это выражение даёт площадь боковой поверхности данного конуса, описанного около пирамиды с заданными параметрами.