ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 11.22 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Около конуса описана пирамида, основанием которой является треугольник со сторонами 6 см, 25 см и 29 см, а высота пирамиды равна \(4\sqrt{2}\) см. Найдите площадь боковой поверхности данного конуса.

Полупериметр основания \(p = \frac{6+25+29}{2} = 30\).

Площадь основания \(S = \sqrt{30 \cdot (30-6) \cdot (30-25) \cdot (30-29)} = \sqrt{30 \cdot 24 \cdot 5 \cdot 1} = 60\).

Радиус вписанной окружности \(r = \frac{S}{p} = \frac{60}{30} = 2\).

Апофема \(l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{2^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + 32} = 6\).

Площадь боковой поверхности \(S_{\text{бок}} = \pi r l = \pi \cdot 2 \cdot 6 = 12 \pi\).

Для начала вычислим полупериметр треугольника основания пирамиды. Сумма всех сторон равна \(6 + 25 + 29 = 60\), поэтому полупериметр \(p\) равен \( \frac{60}{2} = 30 \). Полупериметр нужен для применения формулы Герона, которая позволяет найти площадь треугольника по длинам его сторон.

Далее используем формулу Герона для вычисления площади основания: \( S = \sqrt{p(p — a)(p — b)(p — c)} \), где \(a = 6\), \(b = 25\), \(c = 29\). Подставляя значения, получаем \( S = \sqrt{30 \cdot (30 — 6) \cdot (30 — 25) \cdot (30 — 29)} = \sqrt{30 \cdot 24 \cdot 5 \cdot 1} = \sqrt{3600} = 60 \). Это значение площади основания понадобится для нахождения радиуса вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности \(r\) вычисляется по формуле \( r = \frac{S}{p} \). Подставляя найденные значения, получаем \( r = \frac{60}{30} = 2 \). Радиус вписанной окружности — это расстояние от центра вписанной окружности до любой стороны треугольника основания.

Чтобы найти апофему пирамиды, которая является образующей конуса, описанного около пирамиды, используем теорему Пифагора в треугольнике, образованном радиусом вписанной окружности и высотой пирамиды. Высота пирамиды равна \( h = 4 \sqrt{2} \). Тогда апофема \(l\) равна \( l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{2^2 + (4 \sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + 32} = \sqrt{36} = 6 \).

Наконец, площадь боковой поверхности конуса находится по формуле \( S_{\text{бок}} = \pi r l \). Подставляя значения, получаем \( S_{\text{бок}} = \pi \cdot 2 \cdot 6 = 12 \pi \). Это и есть искомая площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.