ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 11.24 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Около правильной усечённой четырёхугольной пирамиды описан усечённый конус. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса, если стороны оснований усечённой пирамиды равны 8 см и 12 см, а её высота — \(2\sqrt{7}\) см.

Дано: найти площадь боковой поверхности.

1. Найдём радиусы:
\( r_1 = \frac{12 \sqrt{2}}{2} = 6 \sqrt{2} \, \text{см} \),
\( r_2 = \frac{8 \sqrt{2}}{2} = 4 \sqrt{2} \, \text{см} \).

2. Формула площади боковой поверхности усечённого конуса:
\( S_{\text{бок}} = \pi (r_1 + r_2) l \), где \( l = 6 \, \text{см} \).

3. Подставляем значения:
\( S_{\text{бок}} = \pi (6 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2}) \cdot 6 = \pi \cdot 10 \sqrt{2} \cdot 6 = 60 \sqrt{2} \pi \, \text{см}^2 \).

Для нахождения площади боковой поверхности усечённого конуса необходимо сначала определить радиусы оснований. Из условия видно, что радиусы связаны с длинами отрезков, указанными на рисунке. Первый радиус вычисляем по формуле \( r_1 = \frac{12 \sqrt{2}}{2} \). Здесь число 12 — длина основания, а \(\sqrt{2}\) — коэффициент, связанный с углом наклона или диагональю. Деление на 2 связано с тем, что радиус — это половина диаметра основания. После вычисления получается \( r_1 = 6 \sqrt{2} \, \text{см} \). Аналогично для второго радиуса: \( r_2 = \frac{8 \sqrt{2}}{2} = 4 \sqrt{2} \, \text{см} \).

Следующий шаг — найти площадь боковой поверхности усечённого конуса. Формула для площади боковой поверхности усечённого конуса выглядит так: \( S_{\text{бок}} = \pi (r_1 + r_2) l \), где \( r_1 \) и \( r_2 \) — радиусы оснований, а \( l \) — образующая усечённого конуса. Образующая — это наклонное ребро, соединяющее точки на верхнем и нижнем основании. В условии указано, что \( l = 6 \, \text{см} \).

Подставляем найденные значения радиусов и длину образующей в формулу площади: \( S_{\text{бок}} = \pi (6 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2}) \cdot 6 \). Сначала складываем радиусы: \( 6 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} = 10 \sqrt{2} \). Затем умножаем на длину образующей: \( 10 \sqrt{2} \cdot 6 = 60 \sqrt{2} \). В итоге получаем площадь боковой поверхности: \( S_{\text{бок}} = 60 \sqrt{2} \pi \, \text{см}^2 \).