ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 11.26 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Около усечённого конуса описана правильная усечённая треугольная пирамида, стороны оснований которой равны 18 см и 24 см, а боковое ребро — 6 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Найдем радиусы вписанных окружностей:

\(r = \frac{24}{2\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \) см

\(r_1 = \frac{18}{2\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3} \) см

Площадь боковой поверхности усеченного конуса:

\(S = \pi (r + r_1) \ell = \pi (4\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) \cdot 3\sqrt{3} = 63\pi \) см²

Для начала найдем радиусы вписанных окружностей в основания усеченного конуса. Из условия нам даны длины сторон оснований: большое основание с длиной 24 и малое основание с длиной 18. Радиус вписанной окружности равен половине длины стороны, деленной на корень из 3, так как основание — правильный треугольник. Поэтому радиус большого основания вычисляем по формуле \( r = \frac{24}{2\sqrt{3}} \). Упростим выражение: умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\), получим \( r = \frac{24\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{24\sqrt{3}}{6} = 4\sqrt{3} \) сантиметров.

Аналогично найдем радиус вписанной окружности малого основания: \( r_1 = \frac{18}{2\sqrt{3}} \). Упрощая, получаем \( r_1 = \frac{18\sqrt{3}}{6} = 3\sqrt{3} \) сантиметров. Таким образом, радиусы вписанных окружностей в верхнее и нижнее основания равны \(4\sqrt{3}\) см и \(3\sqrt{3}\) см соответственно.

Далее вычислим площадь боковой поверхности усеченного конуса. Формула площади боковой поверхности усеченного конуса следующая: \( S = \pi (r + r_1) \ell \), где \(\ell\) — образующая усеченного конуса. Подставим найденные значения радиусов и длину образующей \(\ell = 3\sqrt{3}\). Получаем \( S = \pi (4\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) \cdot 3\sqrt{3} \). Сложим радиусы: \(4\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 7\sqrt{3}\). Теперь умножим: \(7\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} = 7 \cdot 3 \cdot (\sqrt{3})^2 = 21 \cdot 3 = 63\). Следовательно, площадь боковой поверхности равна \(63\pi\) квадратных сантиметров.