ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 11.28 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на её диаметр, делит его на два отрезка, один из которых на 27 см больше другого. Найдите длину данной окружности, если длина перпендикуляра равна 18 см.

В треугольнике \( \triangle ABC \) по теореме:

\( CH^2 = AH \cdot HB \)

Дано: \( CH = 18 \), \( AH = x + 27 \), \( HB = x \).

Подставляем:

\( 18^2 = (x + 27) \cdot x \)

\( 324 = x^2 + 27x \)

Приводим к уравнению:

\( x^2 + 27x — 324 = 0 \)

Вычисляем дискриминант:

\( D = 27^2 + 4 \cdot 324 = 729 + 1296 = 2025 = 45^2 \)

Находим корни:

\( x = \frac{-27 + 45}{2} = 9 \) (второй корень отрицательный, не подходит)

Длина \( AB = AH + HB = 9 + 27 + 9 = 45 \)

Радиус окружности:

\( r = \frac{AB}{2} = \frac{45}{2} = 22.5 \)

Длина окружности:

\( C = 2 \pi r = 2 \pi \cdot 22.5 = 45 \pi \) (см)

В треугольнике \( \triangle ABC \) дано равенство по теореме, связанной с высотой \( CH \), опущенной на сторону \( AB \): \( CH^2 = AH \cdot HB \). Это означает, что квадрат длины высоты равен произведению отрезков, на которые высота делит сторону \( AB \). Данная теорема часто используется для решения задач, связанных с прямоугольными треугольниками или при вычислении отрезков на стороне, когда известна высота.

В условии задачи известно, что длина высоты \( CH = 18 \), а отрезки \( AH \) и \( HB \) выражены через переменную \( x \) как \( AH = x + 27 \) и \( HB = x \). Подставляя эти значения в теорему, получаем уравнение: \( 18^2 = (x + 27) \cdot x \), что раскрывается в \( 324 = x^2 + 27x \). Приводим уравнение к стандартному виду квадратного уравнения: \( x^2 + 27x — 324 = 0 \). Это уравнение можно решить с помощью дискриминанта \( D \), который вычисляется по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = 27 \), \( c = -324 \).

Вычисляем дискриминант: \( D = 27^2 + 4 \cdot 324 = 729 + 1296 = 2025 \). Корень из \( D \) равен \( \sqrt{2025} = 45 \). Теперь находим корни уравнения по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \), то есть \( x = \frac{-27 \pm 45}{2} \). Первый корень равен \( \frac{-27 + 45}{2} = 9 \), второй — \( \frac{-27 — 45}{2} = -36 \). Отрицательный корень не подходит, так как длина отрезка не может быть отрицательной. Следовательно, \( x = 9 \).

Теперь вычислим длину стороны \( AB \). Она равна сумме отрезков \( AH \) и \( HB \), то есть \( AB = (x + 27) + x = 9 + 27 + 9 = 45 \). Далее, если рассматривать окружность, вписанную или описанную вокруг треугольника, радиус которой равен половине длины стороны \( AB \), получаем \( r = \frac{AB}{2} = \frac{45}{2} = 22.5 \). Длина окружности вычисляется по формуле \( C = 2 \pi r \), подставляя значение радиуса, получаем \( C = 2 \pi \cdot 22.5 = 45 \pi \). Таким образом, длина окружности равна \( 45 \pi \) сантиметров.