ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 11.3 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является треугольник со стороной \(a\) и противолежащим ей углом \(\alpha\), а угол между каждым боковым ребром и плоскостью основания равен \(\beta\). Найдите высоту и образующую конуса, описанного около данной пирамиды.

Основание пирамиды — треугольник со стороной \(a\) и углом \(\alpha\). Высота пирамиды \(SO\) равна длине перпендикуляра от вершины к основанию.

Высота \(SO\) находится по формуле \(SO = \frac{a \tan \beta}{2 \sin \alpha}\), где \(\beta\) — угол между боковым ребром и плоскостью основания.

Боковое ребро \(SC\) выражается через сторону основания и углы: \(SC = \frac{a}{2 \sin \alpha \cos \beta}\).

Основание пирамиды представляет собой треугольник с длиной стороны \(a\) и углом \(\alpha\). Для нахождения высоты пирамиды \(SO\) необходимо рассмотреть проекцию бокового ребра на плоскость основания. Угол \(\beta\) задан как угол между боковым ребром и плоскостью основания, поэтому высоту можно выразить через тангенс этого угла и параметры основания. Высота \(SO\) равна длине перпендикуляра, опущенного из вершины пирамиды на плоскость основания, и вычисляется по формуле \(SO = \frac{a \tan \beta}{2 \sin \alpha}\). Здесь \(\sin \alpha\) появляется из соотношений в треугольнике основания, а множитель \(2\) связан с тем, что высота опущена на сторону, а не на всю длину основания.

Для определения бокового ребра \(SC\) также используется угол \(\beta\), который показывает наклон ребра к плоскости основания. Боковое ребро — это гипотенуза прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды и проекцией ребра на основание. Используя тригонометрические функции, длина ребра выражается как \(SC = \frac{a}{2 \sin \alpha \cos \beta}\). В этой формуле \(\cos \beta\) появляется из соотношения между боковым ребром и его проекцией на основание, а \(\sin \alpha\) — из геометрии треугольника основания.

Таким образом, обе формулы связаны с углами \(\alpha\) и \(\beta\) и стороной основания \(a\), что позволяет однозначно определить высоту пирамиды и длину бокового ребра. Эти выражения получены через разложение бокового ребра на вертикальную и горизонтальную составляющие и использование основных тригонометрических функций в треугольниках, образованных в пирамиде.