ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 11.6 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 4 см, а высота — 6 см. Найдите образующую конуса, вписанного в данную пирамиду.

Сторона основания пирамиды равна 4, значит половина стороны \( \frac{4}{2} = 2 \) см.

Высота пирамиды \( SO = 6 \) см.

Образующая \( SM \) находится по теореме Пифагора в треугольнике \( SMO \):

\( SM^2 = SO^2 + OM^2 = 6^2 + 2^2 = 36 + 4 = 40 \).

Тогда \( SM = \sqrt{40} = 2 \sqrt{10} \) см.

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 4 см. Поскольку основание — квадрат, то его сторона равна 4 см. Для дальнейших вычислений нам понадобится половина стороны основания, так как точка \( O \) — центр основания, и расстояние от центра до середины стороны равно половине стороны. Следовательно, половина стороны основания равна \( \frac{4}{2} = 2 \) см. Это расстояние \( OM \) будет одной из катетов в прямоугольном треугольнике, который мы будем рассматривать далее.

Высота пирамиды обозначена как \( SO \) и равна 6 см. Точка \( S \) — вершина пирамиды, а \( O \) — центр основания. Высота \( SO \) перпендикулярна плоскости основания. Таким образом, в треугольнике \( SMO \), где \( M \) — середина стороны основания, \( SO \) и \( OM \) являются катетами прямоугольного треугольника, а \( SM \) — гипотенузой.

Чтобы найти образующую \( SM \) конуса, вписанного в пирамиду, применим теорему Пифагора к треугольнику \( SMO \). По теореме Пифагора:

\[
SM^2 = SO^2 + OM^2 = 6^2 + 2^2 = 36 + 4 = 40.
\]

Отсюда

\[
SM = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2 \sqrt{10} \text{ см}.
\]

Таким образом, образующая конуса, вписанного в данную пирамиду, равна \( 2 \sqrt{10} \) см.