ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 11.7 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 18 см, а апофема — 9 см. Найдите высоту конуса, вписанного в данную пирамиду.

Сторона основания \(a = 18\), апофема \(s = 9\).

Высота треугольника основания \(d = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{18 \sqrt{3}}{2} = 9 \sqrt{3}\).

Высота \(OH = \frac{1}{3} d = \frac{1}{3} \times 9 \sqrt{3} = 3 \sqrt{3}\).

Высота пирамиды \(SO = \sqrt{s^2 — OH^2} = \sqrt{9^2 — (3 \sqrt{3})^2} = \sqrt{81 — 27} = \sqrt{54} = 3 \sqrt{6}\).

Ответ: высота конуса \(SO = 3 \sqrt{6}\) см.

Основание пирамиды — правильный треугольник со стороной \(a = 18\). Для начала необходимо найти высоту этого треугольника, которая обозначена как \(d\). Высота правильного треугольника вычисляется по формуле \(d = \frac{a \sqrt{3}}{2}\). Подставляя значение стороны, получаем \(d = \frac{18 \sqrt{3}}{2} = 9 \sqrt{3}\). Эта высота будет использоваться для определения центра основания, от которого строится высота пирамиды и апофема.

Следующий шаг — найти расстояние \(OH\), которое является высотой треугольника, на котором основан вписанный конус. Центр тяжести правильного треугольника делит высоту основания в отношении 2:1, поэтому \(OH = \frac{1}{3} d = \frac{1}{3} \times 9 \sqrt{3} = 3 \sqrt{3}\). Это расстояние показывает, насколько далеко центр основания от проекции вершины пирамиды на основание.

Теперь можно найти высоту пирамиды \(SO\), используя апофему \(s = 9\) и найденное расстояние \(OH\). В треугольнике \(SOH\) по теореме Пифагора высота равна \(SO = \sqrt{s^{2} — OH^{2}} = \sqrt{9^{2} — (3 \sqrt{3})^{2}} = \sqrt{81 — 27} = \sqrt{54} = 3 \sqrt{6}\). Таким образом, высота конуса, вписанного в пирамиду, равна \(3 \sqrt{6}\) сантиметров.