ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 11.8 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна \(a\), а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен \(\alpha\). Найдите площадь боковой поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду.

Пусть \(a\) — сторона основания, \( \alpha \) — двугранный угол при ребре основания. Радиус вписанной окружности основания равен \(r = \frac{a \sqrt{3}}{6}\). Высота пирамиды \(SO_m = \frac{a \sqrt{3}}{6 \cos \alpha}\). Площадь боковой поверхности конуса равна \(S = \pi r l = \pi \cdot \frac{a \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{6 \cos \alpha} = \frac{\pi a^2}{12 \cos \alpha}\).

Основание пирамиды — равносторонний треугольник со стороной \(a\). В равностороннем треугольнике радиус вписанной окружности равен \(r = \frac{a \sqrt{3}}{6}\). Этот радиус будет радиусом основания вписанного конуса, так как конус касается всех сторон основания пирамиды. Таким образом, радиус основания конуса известен через сторону основания пирамиды.

Двугранный угол при ребре основания равен \( \alpha \). Высота пирамиды \(SO_m\) опускается перпендикулярно на плоскость основания и связана с углом \( \alpha \) и длиной стороны основания. По геометрии пирамиды высота равна \(SO_m = \frac{a \sqrt{3}}{6 \cos \alpha}\). Это выражение получается из соотношения между наклонной высотой боковой грани и углом при ребре основания. Высота пирамиды также равна образующей конуса \(l\), так как вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса, а основание конуса лежит в основании пирамиды.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле \(S = \pi r l\), где \(r\) — радиус основания, а \(l\) — образующая конуса. Подставляя значения \(r = \frac{a \sqrt{3}}{6}\) и \(l = \frac{a \sqrt{3}}{6 \cos \alpha}\), получаем \(S = \pi \cdot \frac{a \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{6 \cos \alpha} = \pi \frac{a^{2} \cdot 3}{36 \cos \alpha} = \frac{\pi a^{2}}{12 \cos \alpha}\). Таким образом, площадь боковой поверхности конуса выражается через сторону основания пирамиды и двугранный угол при ребре основания.