ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 11.9 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна \(a\), а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен \(\beta\). Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

Пусть \(SO\) — высота пирамиды, \(a\) — сторона основания, угол при ребре основания \(\beta\).

Из треугольника \(SOV\) имеем \( \sin \beta = \frac{SO}{SV} \), \( \tan \beta = \frac{SO}{\frac{a}{2}} \).

Отсюда \(SO = \frac{a}{2} \tan \beta\).

Площадь осевого сечения равна \( \frac{1}{2} \times a \times SO = \frac{1}{2} \times a \times \frac{a}{2} \tan \beta = \frac{a^2}{4} \tan \beta\).

Пусть у нас есть пирамида с квадратным основанием со стороной \(a\). Рассмотрим двугранный угол \(\beta\), который образуется при ребре основания. Чтобы найти площадь осевого сечения, нам нужно понять, как связаны высота пирамиды и сторона основания через этот угол.

Обозначим высоту пирамиды через \(SO\), а половину стороны основания через \(\frac{a}{2}\). Рассмотрим треугольник, образованный высотой пирамиды и половиной стороны основания. В этом треугольнике угол при основании равен \(\beta\). По определению тангенса угла, мы имеем равенство \( \tan \beta = \frac{SO}{\frac{a}{2}} \), откуда высота пирамиды выражается как \( SO = \frac{a}{2} \tan \beta \).

Площадь осевого сечения — это площадь треугольника, образованного высотой пирамиды и стороной основания. Площадь такого треугольника вычисляется по формуле \( \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \). Подставляя значения, получаем \( S = \frac{1}{2} \times a \times SO = \frac{1}{2} \times a \times \frac{a}{2} \tan \beta = \frac{a^2}{4} \tan \beta \).