ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 12.10 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Определите по уравнению сферы координаты её центра и радиус:

1) \((x-1)^2 + (y-2)^2 + (z+4)^2 = 9\);

2) \(x^2 + (y+5)^2 + (z-6)^2 = 25\);

3) \((x+3)^2 + (y-4)^2 + z^2 = 11\);

4) \(x^2 + y^2 + z^2 = 5\).

Уравнение сферы имеет вид \((x — x_0)^2 + (y — y_0)^2 + (z — z_0)^2 = r^2\), где \((x_0, y_0, z_0)\) — центр, \(r\) — радиус.

Для 1) центр \((1, 2, -4)\), радиус \(r = \sqrt{9} = 3\).

Для 2) центр \((0, -5, 6)\), радиус \(r = \sqrt{25} = 5\).

Для 3) центр \((-3, 4, 0)\), радиус \(r = \sqrt{11}\).

Для 4) центр \((0, 0, 0)\), радиус \(r = \sqrt{5}\).

Уравнение сферы записывается в виде \((x — x_0)^2 + (y — y_0)^2 + (z — z_0)^2 = r^2\), где \((x_0, y_0, z_0)\) — координаты центра сферы, а \(r\) — радиус. Чтобы найти центр и радиус, нужно сравнить заданное уравнение с этим стандартным видом. Координаты центра определяются по выражениям внутри скобок с переменными \(x, y, z\), а радиус — как корень квадратный из правой части уравнения.

Для первой сферы уравнение \((x — 1)^2 + (y — 2)^2 + (z + 4)^2 = 9\). Здесь центр — это точка, где \(x_0 = 1\), \(y_0 = 2\), \(z_0 = -4\) (знак меняется на противоположный из-за минуса в скобках). Радиус равен \(r = \sqrt{9} = 3\). Это значит, что сфера расположена вокруг точки \((1, 2, -4)\) и все точки на поверхности находятся на расстоянии 3 от центра.

Во втором уравнении \(x^2 + (y + 5)^2 + (z — 6)^2 = 25\), центр определяется как \((0, -5, 6)\) — здесь \(x_0 = 0\), так как \(x\) без сдвига, \(y_0 = -5\), \(z_0 = 6\). Радиус равен \(r = \sqrt{25} = 5\). Это означает, что сфера с центром в точке \((0, -5, 6)\) имеет радиус 5.

Третья сфера задана уравнением \((x + 3)^2 + (y — 4)^2 + z^2 = 11\). Центр здесь \((-3, 4, 0)\), так как \(x_0 = -3\), \(y_0 = 4\), а \(z_0 = 0\) (переменная \(z\) без сдвига). Радиус равен \(r = \sqrt{11}\), что приблизительно 3.32. Эта сфера расположена вокруг точки \((-3, 4, 0)\) с радиусом \(\sqrt{11}\).

Четвертое уравнение \(x^2 + y^2 + z^2 = 5\) описывает сферу с центром в начале координат \((0, 0, 0)\) и радиусом \(r = \sqrt{5}\), примерно 2.24. Все точки сферы находятся на одинаковом расстоянии \(\sqrt{5}\) от начала координат.