ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 12.11 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Определите по уравнению сферы координаты её центра и радиус:
1) \((x+6)^2 + (y-7)^2 + (z+1)^2 = 16\);
2) \((x-9)^2 + y^2 + (z+8)^2 = 7\).

1) Центр сферы находится из уравнения в виде \((x — x_0)^2 + (y — y_0)^2 + (z — z_0)^2 = R^2\). Здесь \(x_0 = -6\), \(y_0 = 7\), \(z_0 = -1\), радиус \(R = \sqrt{16} = 4\).

2) Аналогично, из уравнения \((x — 9)^2 + y^2 + (z + 8)^2 = 7\) центр \((9, 0, -8)\), радиус \(R = \sqrt{7}\).

Уравнение сферы имеет вид \((x — x_0)^2 + (y — y_0)^2 + (z — z_0)^2 = R^2\), где \((x_0, y_0, z_0)\) — координаты центра, а \(R\) — радиус. Чтобы найти центр и радиус, нужно сравнить данное уравнение с этим стандартным видом. В первом уравнении \((x + 6)^2 + (y — 7)^2 + (z + 1)^2 = 16\) выражения внутри скобок можно переписать как \((x — (-6))^2 + (y — 7)^2 + (z — (-1))^2\), что показывает, что центр сферы находится в точке \((-6, 7, -1)\).

Радиус сферы равен квадратному корню из числа справа от знака равенства, то есть \(R = \sqrt{16} = 4\). Это означает, что все точки, находящиеся на расстоянии 4 от центра \((-6, 7, -1)\), принадлежат поверхности сферы. Аналогично, во втором уравнении \((x — 9)^2 + y^2 + (z + 8)^2 = 7\) центр можно определить как \((9, 0, -8)\), так как \(y^2 = (y — 0)^2\), а остальные члены уже имеют вид \((x — 9)^2\) и \((z — (-8))^2\).

Радиус второй сферы равен \(R = \sqrt{7}\), что указывает на расстояние от центра \((9, 0, -8)\) до любой точки на поверхности сферы. Таким образом, зная уравнение сферы, можно легко определить её центр и радиус, сравнивая с общим уравнением и извлекая корень из правой части уравнения.