ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 12.12 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Как расположена точка по отношению к сфере \((x+2)^2 + (y-3)^2 + z^2 = 100\):
1) \(A(-6; 9; -\frac{4}{3})\);
2) \(B(5; 8; -5)\);
3) \(C(-10; -4; 1)\)?

Для точки \(A(-6; 9; -4\sqrt{3})\) вычисляем: \((-6+2)^2 + (9-3)^2 + (-4\sqrt{3})^2 = 16 + 36 + 48 = 100\), значит \(A\) лежит на сфере.

Для точки \(B(5; 8; -5)\) вычисляем: \((5+2)^2 + (8-3)^2 + (-5)^2 = 49 + 25 + 25 = 99 \neq 100\), значит \(B\) не лежит на сфере.

Для точки \(C(-10; -4; 1)\) вычисляем: \((-10+2)^2 + (-4-3)^2 + 1^2 = 64 + 49 + 1 = 114 \neq 100\), значит \(C\) не лежит на сфере.

Уравнение сферы задано как \((x + 2)^2 + (y — 3)^2 + z^2 = 100\). Это означает, что все точки, удовлетворяющие этому уравнению, находятся на поверхности сферы с центром в точке \((-2; 3; 0)\) и радиусом \(10\), так как радиус равен корню квадратному из \(100\).

Для проверки, лежит ли точка на сфере, необходимо подставить её координаты в левую часть уравнения и вычислить сумму квадратов. Если сумма равна \(100\), то точка находится на сфере. Если сумма меньше \(100\), точка внутри сферы, а если больше — вне сферы.

Для точки \(A(-6; 9; -4\sqrt{3})\) считаем: \((-6 + 2)^2 + (9 — 3)^2 + (-4\sqrt{3})^2 = (-4)^2 + 6^2 + (4\sqrt{3})^2 = 16 + 36 +\)
\(+ 16 \cdot 3 = 16 + 36 + 48 = 100\). Сумма равна \(100\), значит точка \(A\) лежит на сфере.

Для точки \(B(5; 8; -5)\) вычисляем: \((5 + 2)^2 + (8 — 3)^2 + (-5)^2 = 7^2 + 5^2 + 25 = 49 + 25 + 25 = 99\). Поскольку сумма равна \(99\), что меньше \(100\), точка \(B\) не лежит на сфере.

Для точки \(C(-10; -4; 1)\) подставляем: \((-10 + 2)^2 + (-4 — 3)^2 + 1^2 = (-8)^2 + (-7)^2 + 1 = 64 + 49 + 1 = 114\). Сумма больше \(100\), значит точка \(C\) находится вне сферы.