ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 12.13 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Составьте уравнение сферы, если известны координаты её центра \(K\) и радиус \(r\):
1) \(K(2; 5; -12), r=2\);
2) \(K(-4; 0; 7), r=1\);
3) \(K(0; 5; 11), r=2\sqrt{5}\).

Уравнение сферы имеет вид \((x — x_0)^2 + (y — y_0)^2 + (z — z_0)^2 = r^2\).

Для \(K(2; 5; -12), r=2\) подставляем в формулу и получаем \((x — 2)^2 + (y — 5)^2 + (z + 12)^2 = 4\).

Для \(K(-4; 0; 7), r=1\) подставляем и получаем \((x + 4)^2 + y^2 + (z — 7)^2 = 1\).

Для \(K(0; 5; 11), r=2 \cdot \sqrt{5}\) подставляем и получаем \(x^2 + (y — 5)^2 + (z — 11)^2 = 20\).

Уравнение сферы записывается по формуле \((x — x_0)^2 + (y — y_0)^2 + (z — z_0)^2 = r^2\), где \((x_0, y_0, z_0)\) — координаты центра сферы, а \(r\) — её радиус. Это уравнение описывает множество точек \((x, y, z)\), удалённых от центра на расстояние ровно \(r\). Чтобы составить уравнение сферы, нужно просто подставить известные координаты центра и радиус в эту формулу.

В первом случае центр сферы \(K\) имеет координаты \( (2; 5; -12) \), а радиус равен \(2\). Подставляя эти значения, получаем уравнение \((x — 2)^2 + (y — 5)^2 + (z + 12)^2 = 2^2\). Возводим радиус в квадрат, получаем \(4\), значит уравнение будет \((x — 2)^2 + (y — 5)^2 + (z + 12)^2 = 4\). Обратите внимание, что для координаты \(z_0 = -12\) в уравнении стоит знак плюс, так как \((z — (-12))^2 = (z + 12)^2\).

Во втором случае центр сферы \(K\) задан точкой \((-4; 0; 7)\), а радиус равен \(1\). Подставляем в формулу: \((x — (-4))^2 + (y — 0)^2 + (z — 7)^2 = 1^2\). Упрощая, получаем \((x + 4)^2 + y^2 + (z — 7)^2 = 1\). Здесь для \(y_0 = 0\) скобки сокращаются, так как \((y — 0)^2 = y^2\).

В третьем случае центр \(K\) — это точка \((0; 5; 11)\), а радиус равен \(2 \cdot \sqrt{5}\). Подставляем в уравнение: \((x — 0)^2 + (y — 5)^2 + (z — 11)^2 = (2 \cdot \sqrt{5})^2\). Возводим радиус в квадрат: \((2 \cdot \sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20\). Значит уравнение сферы будет \(x^2 + (y — 5)^2 + (z — 11)^2 = 20\).