ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 12.14 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Составьте уравнение сферы, если известны координаты её центра \(K\) и радиус \(r\):
1) \(M(-3; 1; -8), r=9\);
2) \(M(9; -10; 0), r=4\sqrt{2}\).

Центр \(M(-3; 1; -8)\), радиус \(r=9\). Уравнение сферы: \((x+3)^2+(y-1)^2+(z+8)^2=9^2=81\).

Центр \(M(9; -10; 0)\), радиус \(r=4\sqrt{2}\). Уравнение сферы: \((x-9)^2+(y+10)^2+z^2=(4\sqrt{2})^2=32\).

Сфера — это геометрическое тело, все точки которого находятся на одинаковом расстоянии от центра. Центр сферы задаётся координатами \( K(x_0, y_0, z_0) \), а радиус — числом \( r \). Уравнение сферы в пространстве с центром \( K \) и радиусом \( r \) записывается по формуле:

\[
(x — x_0)^2 + (y — y_0)^2 + (z — z_0)^2 = r^2.
\]

Это уравнение означает, что для любой точки \( (x, y, z) \), лежащей на поверхности сферы, сумма квадратов расстояний по осям \( x, y, z \) от центра равна квадрату радиуса.

1) Рассмотрим первый случай, где центр сферы задан точкой \( M(-3; 1; -8) \), а радиус \( r = 9 \). Здесь координаты центра: \( x_0 = -3 \), \( y_0 = 1 \), \( z_0 = -8 \). Подставим их в формулу уравнения сферы:

\[
(x — (-3))^2 + (y — 1)^2 + (z — (-8))^2 = 9^2.
\]

Это можно переписать как

\[
(x + 3)^2 + (y — 1)^2 + (z + 8)^2 = 81,
\]

где \( 81 \) — это квадрат радиуса \( 9 \), так как \( 9^2 = 81 \).

2) Во втором случае центр сферы — точка \( M(9; -10; 0) \), радиус \( r = 4 \sqrt{2} \). Координаты центра: \( x_0 = 9 \), \( y_0 = -10 \), \( z_0 = 0 \). Подставим в уравнение:

\[
(x — 9)^2 + (y — (-10))^2 + (z — 0)^2 = (4 \sqrt{2})^2.
\]

Упростим:

\[
(x — 9)^2 + (y + 10)^2 + z^2 = 16 \cdot 2 = 32,
\]

потому что \( (4 \sqrt{2})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32 \).

Таким образом, уравнения сфер для данных центров и радиусов выглядят так:

1) \((x + 3)^2 + (y — 1)^2 + (z + 8)^2 = 81\),

2) \((x — 9)^2 + (y + 10)^2 + z^2 = 32\).

Эти уравнения описывают множество точек в трёхмерном пространстве, которые находятся на расстоянии \( r \) от центра \( M \), то есть на поверхности соответствующих сфер.