ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 12.15 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Составьте уравнение сферы с центром в точке \(P(3; -1; 16)\), которая проходит через точку \(M(-2; -4; 13)\).

Уравнение сферы с центром в точке \(P(3; -1; 16)\) имеет вид \((x-3)^2 + (y+1)^2 + (z-16)^2 = r^2\).

Радиус \(r\) равен расстоянию от центра до точки \(M(-2; -4; 13)\), значит \(r^2 = (-2-3)^2 + (-4+1)^2 + (13-16)^2\).

Вычисляем: \(r^2 = (-5)^2 + (-3)^2 + (-3)^2 = 25 + 9 + 9 = 43\).

Итого уравнение сферы: \((x-3)^2 + (y+1)^2 + (z-16)^2 = 43\).

Уравнение сферы задаётся формулой \((x — x_0)^2 + (y — y_0)^2 + (z — z_0)^2 = r^2\), где \((x_0; y_0; z_0)\) — координаты центра сферы, а \(r\) — радиус. В нашем случае центр сферы задан точкой \(P(3; -1; 16)\), поэтому уравнение примет вид \((x — 3)^2 + (y + 1)^2 + (z — 16)^2 = r^2\).

Чтобы найти радиус \(r\), нужно вычислить расстояние между центром \(P\) и точкой \(M(-2; -4; 13)\), которая лежит на поверхности сферы. Расстояние между двумя точками в пространстве вычисляется по формуле \(\sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2 + (z_2 — z_1)^2}\). Подставим координаты: \(r = \sqrt{(-2 — 3)^2 + (-4 + 1)^2 + (13 — 16)^2}\).

Вычислим каждое слагаемое: \((-2 — 3)^2 = (-5)^2 = 25\), \((-4 + 1)^2 = (-3)^2 = 9\), \((13 — 16)^2 = (-3)^2 = 9\). Складываем: \(25 + 9 + 9 = 43\). Значит, \(r^2 = 43\). Подставляя это в уравнение сферы, получаем \((x — 3)^2 + (y + 1)^2 + (z — 16)^2 = 43\).