ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 12.16 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Составьте уравнение сферы, диаметром которой является отрезок \(CD\), если \(C(-3; 6; 5)\), \(D(1; -4; -5)\).

Найдем центр сферы как середину отрезка \(CD\): \(O \left( \frac{-3+1}{2}, \frac{6-4}{2}, \frac{5-5}{2} \right) = (-1, 1, 0)\).

Вычислим длину отрезка \(CD\): \(|CD| = \sqrt{(-3-1)^2 + (6+4)^2 + (5+5)^2} = \sqrt{16 + 100 + 100} = \sqrt{216}\).

Радиус сферы равен половине длины отрезка: \(R = \frac{\sqrt{216}}{2} = \sqrt{54}\).

Уравнение сферы с центром в точке \(O\) и радиусом \(R\): \((x+1)^2 + (y-1)^2 + z^2 = 54\).

Для составления уравнения сферы, диаметр которой задан отрезком \( CD \), необходимо сначала определить центр и радиус этой сферы. Центр сферы будет находиться в середине отрезка \( CD \), так как диаметр проходит через центр. Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое соответствующих координат концов отрезка. Если \( C(-3; 6; 5) \) и \( D(1; -4; -5) \), то координаты центра \( O \) находятся по формулам:
\(
x_O = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1,
\)
\(
y_O = \frac{6 + (-4)}{2} = \frac{2}{2} = 1,
\)
\(
z_O = \frac{5 + (-5)}{2} = \frac{0}{2} = 0.
\)
Таким образом, центр сферы имеет координаты \( O(-1; 1; 0) \).

Следующий шаг — вычисление длины отрезка \( CD \), которая равна длине диаметра сферы. Длина отрезка \( CD \) определяется по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:
\(
|CD| = \sqrt{(x_D — x_C)^2 + (y_D — y_C)^2 + (z_D — z_C)^2}.
\)
Подставляя значения координат, получаем:
\(
|CD| = \sqrt{(1 — (-3))^2 + (-4 — 6)^2 + (-5 — 5)^2} =\)
\(= \sqrt{(4)^2 + (-10)^2 + (-10)^2} = \sqrt{16 + 100 + 100} = \sqrt{216}.
\)

Радиус сферы равен половине длины диаметра, поэтому радиус \( R \) вычисляется как:
\(
R = \frac{|CD|}{2} = \frac{\sqrt{216}}{2} = \sqrt{54}.
\)
Теперь, зная центр \( O(-1; 1; 0) \) и радиус \( R = \sqrt{54} \), можно записать уравнение сферы. Уравнение сферы с центром в точке \( (x_0; y_0; z_0) \) и радиусом \( R \) имеет вид:
\(
(x — x_0)^2 + (y — y_0)^2 + (z — z_0)^2 = R^2.
\)
Подставляя наши значения:
\(
(x + 1)^2 + (y — 1)^2 + (z — 0)^2 = 54.
\)
Таким образом, уравнение сферы, диаметр которой является отрезок \( CD \), записывается как
\(
(x + 1)^2 + (y — 1)^2 + z^2 = 54.
\)