ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 12.17 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите координаты точек пересечения сферы \((x-2)^2 + (y+3)^2 + (z-6)^2 = 49\) с осями координат.

Подставляем точки пересечения с осями:

Для оси Ox: \(y=0, z=0\). Подставляем в уравнение сферы: \((x-2)^2 + 3^2 + (-6)^2 = 49\).

\((x-2)^2 + 9 + 36 = 49\), значит \((x-2)^2 = 4\).

Отсюда \(x-2 = 2\) или \(x-2 = -2\), значит \(x=4\) или \(x=0\).

Точки: \((4,0,0)\) и \((0,0,0)\).

Для оси Oy: \(x=0, z=0\). Подставляем: \((-2)^2 + (y+3)^2 + (-6)^2 = 49\).

\(4 + (y+3)^2 + 36 = 49\), значит \((y+3)^2 = 9\).

Отсюда \(y+3 = 3\) или \(y+3 = -3\), значит \(y=0\) или \(y=-6\).

Точки: \((0,0,0)\) и \((0,-6,0)\).

Для оси Oz: \(x=0, y=0\). Подставляем: \((-2)^2 + 3^2 + (z-6)^2 = 49\).

\(4 + 9 + (z-6)^2 = 49\), значит \((z-6)^2 = 36\).

Отсюда \(z-6 = 6\) или \(z-6 = -6\), значит \(z=12\) или \(z=0\).

Точки: \((0,0,12)\) и \((0,0,0)\).

Для нахождения точек пересечения сферы с осями координат нужно подставить в уравнение сферы значения координат, соответствующие каждой оси. Сфера задана уравнением \((x-2)^2 + (y+3)^2 + (z-6)^2 = 49\). Чтобы найти пересечения с осью Ox, приравниваем \(y=0\) и \(z=0\), так как все точки на оси Ox имеют вид \((x, 0, 0)\). Подставляем эти значения в уравнение: \((x-2)^2 + (0+3)^2 + (0-6)^2 = 49\). Вычисляем квадраты: \((x-2)^2 + 9 + 36 = 49\). Складываем константы: \(9 + 36 = 45\), значит \((x-2)^2 + 45 = 49\). Вычитаем 45 из обеих частей уравнения, получаем \((x-2)^2 = 4\). Корень из 4 равен 2, значит \(x-2 = 2\) или \(x-2 = -2\). Отсюда \(x = 4\) или \(x = 0\). Таким образом, точки пересечения сферы с осью Ox — это \((4, 0, 0)\) и \((0, 0, 0)\).

Для нахождения точек пересечения с осью Oy аналогично приравниваем \(x=0\) и \(z=0\), так как все точки на оси Oy имеют вид \((0, y, 0)\). Подставляем в уравнение: \((0-2)^2 + (y+3)^2 + (0-6)^2 = 49\). Вычисляем квадраты: \(4 + (y+3)^2 + 36 = 49\). Складываем константы: \(4 + 36 = 40\), значит \((y+3)^2 + 40 = 49\). Вычитаем 40 из обеих частей, получаем \((y+3)^2 = 9\). Корень из 9 равен 3, значит \(y+3 = 3\) или \(y+3 = -3\). Отсюда \(y = 0\) или \(y = -6\). Точки пересечения сферы с осью Oy — это \((0, 0, 0)\) и \((0, -6, 0)\).

Для нахождения точек пересечения с осью Oz приравниваем \(x=0\) и \(y=0\), так как точки на оси Oz имеют вид \((0, 0, z)\). Подставляем в уравнение: \((0-2)^2 + (0+3)^2 + (z-6)^2 = 49\). Вычисляем квадраты: \(4 + 9 + (z-6)^2 = 49\). Складываем константы: \(4 + 9 = 13\), значит \((z-6)^2 + 13 = 49\). Вычитаем 13 из обеих частей, получаем \((z-6)^2 = 36\). Корень из 36 равен 6, значит \(z-6 = 6\) или \(z-6 = -6\). Отсюда \(z = 12\) или \(z = 0\). Точки пересечения сферы с осью Oz — это \((0, 0, 12)\) и \((0, 0, 0)\).