ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 12.18 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сфера с центром в точке \(A(-1; 3; 2)\) пересекается с осью ординат в точках \(B(0; -1; 0)\) и \(C\). Найдите координаты точки \(C\).

Радиус сферы \(r\) равен расстоянию от центра \(A(-1;3;2)\) до точки \(B(0;-1;0)\): \(r^2 = (0+1)^2 + (-1-3)^2 + (0-2)^2 = 1 + 16 + 4 = 21\).

Уравнение сферы: \((x+1)^2 + (y-3)^2 + (z-2)^2 = 21\).

Для точки \(C\) на оси ординат \(x=0, z=0\), подставляем в уравнение: \((0+1)^2 + (y-3)^2 + (0-2)^2 = 21\).

Получаем: \(1 + (y-3)^2 + 4 = 21\), откуда \((y-3)^2 = 16\).

Решая, \(y-3 = 4\) или \(y-3 = -4\), значит \(y=7\) или \(y=-1\).

Точки пересечения: \(C(0;7;0)\) и \(B(0;-1;0)\).

Радиус сферы находится как расстояние между центром \(A(-1; 3; 2)\) и точкой \(B(0; -1; 0)\), которая принадлежит сфере. Для этого применяем формулу расстояния в пространстве: \(r^2 = (x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2 + (z_2 — z_1)^2\). Подставляя координаты, получаем \(r^2 = (0 + 1)^2 + (-1 — 3)^2 + (0 — 2)^2 = 1^2 + (-4)^2 + (-2)^2 =\)
\(= 1 + 16 + 4 = 21\). Таким образом, радиус сферы равен \(\sqrt{21}\).

Уравнение сферы с центром в точке \(A\) и радиусом \(r\) записывается как \((x + 1)^2 + (y — 3)^2 + (z — 2)^2 = 21\). Чтобы найти вторую точку пересечения сферы с осью ординат, учитываем, что на оси ординат координаты \(x\) и \(z\) равны нулю, то есть точка имеет вид \(C(0; y; 0)\). Подставляем эти значения в уравнение сферы: \((0 + 1)^2 + (y — 3)^2 + (0 — 2)^2 = 21\), что упрощается до \(1 + (y — 3)^2 + 4 = 21\).

Вычитая известные слагаемые, получаем \((y — 3)^2 = 16\). Это уравнение даёт два решения: \(y — 3 = 4\) или \(y — 3 = -4\), следовательно, \(y = 7\) или \(y = -1\). Первая точка пересечения уже известна — \(B(0; -1; 0)\), вторая — \(C(0; 7; 0)\). Таким образом, сфера пересекает ось ординат в двух точках, расположенных симметрично относительно центра по оси \(y\).