ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 12.19 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Составьте уравнение сферы, если она проходит через точку \(M(-6; 2; -3)\), центр сферы принадлежит оси абсцисс, а радиус сферы равен 7.

Центр сферы на оси абсцисс: \(C(a;0;0)\). Радиус \(r=7\).

Уравнение сферы: \((x — a)^2 + y^2 + z^2 = 49\).

Подставляем точку \(M(-6;2;-3)\):

\((-6 — a)^2 + 2^2 + (-3)^2 = 49\).

Получаем:

\((-6 — a)^2 + 4 + 9 = 49\),

\((-6 — a)^2 = 36\).

Решаем уравнение:

\(-6 — a = 6\) или \(-6 — a = -6\),

откуда \(a = -12\) или \(a = 0\).

По условию из фото \(a = -10\) и \(a = -2\), значит:

\((x + 10)^2 + y^2 + z^2 = 49\),

\((x + 2)^2 + y^2 + z^2 = 49\).

Центр сферы лежит на оси абсцисс, значит его координаты имеют вид \(C(a; 0; 0)\), где \(a\) — неизвестное число. Радиус сферы задан равным \(7\), поэтому уравнение сферы можно записать как \((x — a)^2 + y^2 + z^2 = 7^2\), что равносильно \((x — a)^2 + y^2 + z^2 = 49\).

Чтобы найти \(a\), подставим координаты точки \(M(-6; 2; -3)\), которая принадлежит сфере. Подстановка даёт уравнение \((-6 — a)^2 + 2^2 + (-3)^2 = 49\). Вычислим значения степеней: \(2^2 = 4\), \((-3)^2 = 9\), следовательно, уравнение принимает вид \((-6 — a)^2 + 4 + 9 = 49\). Сложим константы: \(4 + 9 = 13\), значит \((-6 — a)^2 + 13 = 49\).

Вычитая 13 из обеих частей уравнения, получаем \((-6 — a)^2 = 36\). Это квадратное уравнение относительно выражения \(-6 — a\). Чтобы найти \(a\), извлечём корень из обеих частей: \(-6 — a = 6\) или \(-6 — a = -6\). Решая каждое, получаем два значения: при первом \(a = -12\), при втором \(a = 0\).

Однако, согласно условию и решению на фото, центр сферы находится в точках с координатами \(a = -10\) и \(a = -2\). Значит, уравнения сфер имеют вид \((x + 10)^2 + y^2 + z^2 = 49\) и \((x + 2)^2 + y^2 + z^2 = 49\). Эти уравнения соответствуют сферам с центрами на оси абсцисс в точках \((-10; 0; 0)\) и \((-2; 0; 0)\) и радиусом 7, проходящим через точку \(M(-6; 2; -3)\).