ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 12.20 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Составьте уравнение сферы, если она проходит через точку \(N(-1; 2; -2)\), центр сферы принадлежит оси аппликат, а радиус сферы равен 3.

Центр сферы на оси \(z\), значит \( (0;0;c) \). Уравнение сферы: \( x^2 + y^2 + (z — c)^2 = 9 \).

Подставляем точку \(N(-1; 2; -2)\): \( (-1)^2 + 2^2 + (-2 — c)^2 = 9 \).

Получаем: \( 1 + 4 + (-2 — c)^2 = 9 \), значит \( (-2 — c)^2 = 4 \).

Решаем: \( -2 — c = 2 \) или \( -2 — c = -2 \).

Отсюда \( c = -4 \) или \( c = 0 \).

Уравнения сфер: \( x^2 + y^2 + z^2 = 9 \) и \( x^2 + y^2 + (z + 4)^2 = 9 \).

Центр сферы лежит на оси \(z\), значит его координаты имеют вид \( (0;0;c) \), где \(c\) — неизвестное число. Радиус сферы равен 3, значит уравнение сферы можно записать как \( x^2 + y^2 + (z — c)^2 = 3^2 \), то есть \( x^2 + y^2 + (z — c)^2 = 9 \).

Точка \(N(-1; 2; -2)\) принадлежит сфере, значит её координаты удовлетворяют уравнению сферы. Подставим эти значения: \( (-1)^2 + 2^2 + (-2 — c)^2 = 9 \). Вычислим квадраты: \(1 + 4 + (-2 — c)^2 = 9\), что даёт уравнение \(5 + (-2 — c)^2 = 9\). Вычтем 5 из обеих частей: \( (-2 — c)^2 = 4 \).

Решим уравнение \( (-2 — c)^2 = 4 \). Из этого следует, что \( -2 — c = 2 \) или \( -2 — c = -2 \). Отсюда находим два значения для \(c\): \( c = -4 \) или \( c = 0 \).

Таким образом, уравнения сфер с центрами на оси \(z\) и радиусом 3, проходящих через точку \(N\), имеют вид: \( x^2 + y^2 + (z — 0)^2 = 9 \), то есть \( x^2 + y^2 + z^2 = 9 \), и \( x^2 + y^2 + (z + 4)^2 = 9 \).