ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 12.21 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что уравнение \(x^2 + y^2 + z^2 — 10x + 14y + 22 + 70 = 0\) является уравнением сферы, укажите координаты центра и радиус этой сферы.

Перегруппируем уравнение: \(x^2 — 10x + y^2 + 14y + z^2 + 2z + 70 = 0\).

Выделим полные квадраты: \((x^2 — 10x + 25) + (y^2 + 14y + 49) + (z^2 + 2z + 1) = -70 + 25 + 49 + 1\).

Получаем: \((x — 5)^2 + (y + 7)^2 + (z + 1)^2 = 5\).

Центр сферы: \( (5, -7, -1) \), радиус: \(\sqrt{5}\).

Дано уравнение \(x^{2} + y^{2} + z^{2} — 10x + 14y + 2z + 70 = 0\). Чтобы привести его к уравнению сферы, нужно сгруппировать члены по переменным и выделить полные квадраты. Для этого рассмотрим каждую переменную отдельно: \(x^{2} — 10x\), \(y^{2} + 14y\), \(z^{2} + 2z\).

Для выделения полного квадрата в выражении \(x^{2} — 10x\) добавим и вычтем число \(\left(\frac{10}{2}\right)^{2} = 25\), получим \((x — 5)^{2} — 25\). Аналогично для \(y^{2} + 14y\) добавим и вычтем \(\left(\frac{14}{2}\right)^{2} = 49\), что дает \((y + 7)^{2} — 49\). Для \(z^{2} + 2z\) добавим и вычтем \(\left(\frac{2}{2}\right)^{2} = 1\), получим \((z + 1)^{2} — 1\).

Подставим эти выражения обратно в уравнение: \((x — 5)^{2} — 25 + (y + 7)^{2} — 49 + (z + 1)^{2} — 1 + 70 = 0\). Сложим константы: \(-25 — 49 — 1 + 70 = -5\). Тогда уравнение примет вид \((x — 5)^{2} + (y + 7)^{2} + (z + 1)^{2} = 5\). Это уравнение сферы с центром в точке \( (5, -7, -1) \) и радиусом \(\sqrt{5}\).