ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 12.22 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите координаты центра и радиус сферы \(x^2 + y^2 + z^2 — 16y + 6z = 0\).

Уравнение \(x^2 + y^2 + z^2 — 16y + 6z = 0\) приводим к виду с полными квадратами.

Группируем: \(x^2 + (y^2 — 16y) + (z^2 + 6z) = 0\).

Дополняем до квадратов: \(y^2 — 16y = (y — 8)^2 — 64\), \(z^2 + 6z = (z + 3)^2 — 9\).

Подставляем: \(x^2 + (y — 8)^2 — 64 + (z + 3)^2 — 9 = 0\).

Приводим: \(x^2 + (y — 8)^2 + (z + 3)^2 = 64 + 9 = 73\).

Центр \(O(0; 8; -3)\), радиус \(r = \sqrt{73}\).

1) Исходное уравнение сферы: \(x^{2}+y^{2}+z^{2}-16y+6z=0\). Цель — привести его к каноническому виду через полные квадраты, чтобы прочитать центр и радиус. Для этого сгруппируем члены по переменным: \(x^{2}+(y^{2}-16y)+(z^{2}+6z)=0\). Заметим, что у переменной \(x\) нет линейного члена, значит квадрат уже полный. Для \(y\) и \(z\) дополним до квадратов, выделив соответствующие константы.

2) Для \(y\): \(y^{2}-16y=(y-8)^{2}-64\), так как разворачивая квадрат получаем \(y^{2}-16y+64\), и чтобы не изменить уравнение, вычитаем \(64\). Для \(z\): \(z^{2}+6z=(z+3)^{2}-9\), поскольку \((z+3)^{2}=z^{2}+6z+9\), и, следовательно, нужно вычесть \(9\). Подставим эти представления в исходное уравнение: \(x^{2}+(y-8)^{2}-64+(z+3)^{2}-9=0\). Перенесем константы вправо: \(x^{2}+(y-8)^{2}+(z+3)^{2}=64+9=73\). Теперь уравнение имеет канонический вид сферы: квадрат расстояния от точки \((x,y,z)\) до центра равен квадрату радиуса.

3) Из канонического вида читаем параметры. Центр сферы — точка, компенсирующая линейные члены: \((0;8;-3)\), поскольку выражения стоят как \((y-8)\) и \((z+3)\), а для \(x\) центр по \(x\) равен \(0\). Радиус — корень из правой части канонического уравнения: \(r=\sqrt{73}\). Итак, окончательные параметры: центр \(O(0;8;-3)\), радиус \(r=\sqrt{73}\).