ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 12.23 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Составьте уравнение сферы, если она проходит через точки \(A(1; -1; 2)\) и \(B(\sqrt{17}; 1; 6)\), центр сферы принадлежит координатной плоскости \(yz\), а радиус сферы равен \(\sqrt{46}\).

Центр сферы \(O(0; b; c)\), радиус \(r=\sqrt{46}\).

Подставляем точки \(A(1; -1; 2)\) и \(B(\sqrt{17}; 1; 6)\) в уравнение сферы:

\(1 + (-1 — b)^2 + (2 — c)^2 = 46\), значит \((-1 — b)^2 + (2 — c)^2 = 45\).

\(17 + (1 — b)^2 + (6 — c)^2 = 46\), значит \((1 — b)^2 + (6 — c)^2 = 29\).

Решаем систему:

\[
\begin{cases}
(-1 — b)^2 + (2 — c)^2 = 45 \\
(1 — b)^2 + (6 — c)^2 = 29
\end{cases}
\]

Получаем \(b = -5.6\), \(c = 3.2\).

Уравнение сферы:

\(x^2 + (y + 5.6)^2 + (z — 3.2)^2 = 46\).

Центр сферы лежит в плоскости \(yz\), значит его координата \(x = 0\), и центр имеет вид \(O(0; b; c)\). Радиус сферы равен \(\sqrt{46}\), поэтому уравнение сферы можно записать как \(x^{2} + (y — b)^{2} + (z — c)^{2} = 46\).

Подставим координаты точки \(A(1; -1; 2)\) в уравнение сферы. Получим \(1^{2} + (-1 — b)^{2} + (2 — c)^{2} = 46\), то есть \(1 + (-1 — b)^{2} + (2 — c)^{2} = 46\). Вычтем 1 из обеих частей: \((-1 — b)^{2} + (2 — c)^{2} = 45\). Аналогично подставим точку \(B(\sqrt{17}; 1; 6)\). Получим \((\sqrt{17})^{2} + (1 — b)^{2} + (6 — c)^{2} = 46\), что даёт \(17 + (1 — b)^{2} + (6 — c)^{2} = 46\). Вычтем 17: \((1 — b)^{2} + (6 — c)^{2} = 29\).

Таким образом, имеем систему уравнений: \((-1 — b)^{2} + (2 — c)^{2} = 45\) и \((1 — b)^{2} + (6 — c)^{2} = 29\). Раскроем скобки, выразим и решим систему относительно \(b\) и \(c\). Решение даёт \(b = -\frac{28}{5} = -5.6\) и \(c = \frac{16}{5} = 3.2\).

Подставляя найденные значения \(b\) и \(c\) обратно в уравнение сферы, получаем окончательное уравнение: \(x^{2} + (y + 5.6)^{2} + (z — 3.2)^{2} = 46\). Это уравнение описывает сферу с центром в точке \(O(0; -5.6; 3.2)\) и радиусом \(\sqrt{46}\), проходящую через заданные точки.