ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 12.24 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Составьте уравнение сферы, если она проходит через точку \(C(4; -2\sqrt{10}; -2)\) и начало координат, центр сферы принадлежит координатной плоскости \(xz\), а радиус сферы равен \(3\sqrt{10}\).

Центр сферы \( (a; 0; c) \), радиус \( r = 3\sqrt{10} \), значит уравнение: \( (x — a)^2 + y^2 + (z — c)^2 = 90 \).

Подставляем точку \( O(0;0;0) \): \( a^2 + c^2 = 90 \).

Подставляем точку \( C(4; -2\sqrt{10}; -2) \): \( (4 — a)^2 + (-2\sqrt{10})^2 + (-2 — c)^2 = 90 \).

Раскрываем: \( 16 — 8a + a^2 + 40 + 4 + 4c + c^2 = 90 \).

Упрощаем: \( a^2 + c^2 — 8a + 4c + 60 = 90 \).

Используем \( a^2 + c^2 = 90 \), получаем: \( 90 — 8a + 4c + 60 = 90 \Rightarrow -8a + 4c + 60 = 0 \).

Делим на 4: \( -2a + c + 15 = 0 \Rightarrow c = 2a — 15 \).

Подставляем в \( a^2 + c^2 = 90 \): \( a^2 + (2a — 15)^2 = 90 \).

Раскрываем: \( a^2 + 4a^2 — 60a + 225 = 90 \Rightarrow 5a^2 — 60a + 135 = 0 \).

Делим на 5: \( a^2 — 12a + 27 = 0 \).

Решаем: \( a = \frac{12 \pm \sqrt{144 — 108}}{2} = \frac{12 \pm 6}{2} \).

Корни: \( a = 9 \) или \( a = 3 \).

Для \( a = 9 \), \( c = 2 \cdot 9 — 15 = 3 \).

Для \( a = 3 \), \( c = 2 \cdot 3 — 15 = -9 \).

Ответ: \( (x — 9)^2 + y^2 + (z — 3)^2 = 90 \) или \( (x — 3)^2 + y^2 + (z + 9)^2 = 90 \).

Рассмотрим сферу с центром в точке \( (a; 0; c) \), где координата по оси \( y \) равна нулю, так как центр лежит в плоскости \( xz \). Радиус сферы задан как \( r = 3\sqrt{10} \), следовательно уравнение сферы принимает вид \( (x — a)^2 + y^2 + (z — c)^2 = (3\sqrt{10})^2 = 90 \). Это уравнение описывает множество точек, расстояние от которых до центра равно \( r \).

Из условия известно, что сфера проходит через начало координат \( O(0;0;0) \). Подставим координаты точки \( O \) в уравнение сферы: \( (0 — a)^2 + 0^2 + (0 — c)^2 = a^2 + c^2 = 90 \). Это первое уравнение связывает координаты центра сферы. Также на сфере лежит точка \( C(4; -2\sqrt{10}; -2) \). Подставим ее координаты в уравнение сферы: \( (4 — a)^2 + (-2\sqrt{10})^2 + (-2 — c)^2 = 90 \). Раскроем скобки и вычислим: \( (4 — a)^2 + 4 \cdot 10 + (-2 — c)^2 = 90 \), что упрощается до \( (4 — a)^2 + 40 + (-2 — c)^2 = 90 \).

Раскроем квадраты: \( (4 — a)^2 = 16 — 8a + a^2 \) и \( (-2 — c)^2 = 4 + 4c + c^2 \). Подставим в уравнение: \( 16 — 8a + a^2 + 40 + 4 + 4c + c^2 = 90 \). Сложим константы: \( 16 + 40 + 4 = 60 \), получаем \( a^2 + c^2 — 8a + 4c + 60 = 90 \). Переносим 90 в левую часть: \( a^2 + c^2 — 8a + 4c — 30 = 0 \). Используя первое уравнение \( a^2 + c^2 = 90 \), подставим: \( 90 — 8a + 4c — 30 = 0 \), что упрощается до \( 60 — 8a + 4c = 0 \).

Разделим на 4 для удобства: \( -2a + c + 15 = 0 \), откуда выразим \( c = 2a — 15 \). Подставим это выражение для \( c \) в уравнение \( a^2 + c^2 = 90 \): \( a^2 + (2a — 15)^2 = 90 \). Раскроем квадрат: \( a^2 + 4a^2 — 60a + 225 = 90 \), что дает \( 5a^2 — 60a + 225 = 90 \). Переносим 90 в левую часть: \( 5a^2 — 60a + 135 = 0 \), делим на 5: \( a^2 — 12a + 27 = 0 \).

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \( D = (-12)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 27 = 144 — 108 = 36 \). Корни уравнения: \( a = \frac{12 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{12 \pm 6}{2} \), то есть \( a = 9 \) или \( a = 3 \). Для каждого значения \( a \) найдем \( c \): при \( a = 9 \), \( c = 2 \cdot 9 — 15 = 3 \); при \( a = 3 \), \( c = 2 \cdot 3 — 15 = -9 \).

Таким образом, центр сферы может иметь координаты \( (9; 0; 3) \) или \( (3; 0; -9) \). Соответствующие уравнения сфер: \( (x — 9)^2 + y^2 + (z — 3)^2 = 90 \) и \( (x — 3)^2 + y^2 + (z + 9)^2 = 90 \).