ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 12.25 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Даны точки \(A(0; -3; 0)\) и \(B(0; 6; 0)\). Составьте уравнение геометрического места точек пространства, расстояние от которых до точки \(A\) в 2 раза больше расстояния до точки \(B\). Какой геометрической фигурой является это ГМТ?

Дано уравнение расстояний: \( \sqrt{x^2 + (3 + y)^2 + z^2} = 2 \sqrt{x^2 + (6 — y)^2 + z^2} \).

Возводим обе части в квадрат: \( x^2 + (3 + y)^2 + z^2 = 4(x^2 + (6 — y)^2 + z^2) \).

Раскрываем скобки и переносим все в одну сторону: \( x^2 + (3 + y)^2 + z^2 — 4x^2 — 4(6 — y)^2 — 4z^2 = 0 \).

Упрощаем: \( -3x^2 + (3 + y)^2 — 4(6 — y)^2 — 3z^2 = 0 \).

Раскрываем квадраты: \( -3x^2 + 9 + 6y + y^2 — 144 + 48y — 4y^2 — 3z^2 = 0 \).

Собираем подобные: \( -3x^2 — 3z^2 — 3y^2 + 54y — 135 = 0 \).

Умножаем на \(-1\) и делим на 3: \( x^2 + y^2 + z^2 — 18y + 45 = 0 \).

Выделяем полный квадрат: \( x^2 + z^2 + (y — 9)^2 = 36 \).

Ответ: это уравнение сферы с центром в точке \( (0, 9, 0) \) и радиусом \( 6 \).

Дано уравнение, задающее множество точек \( M(x,y,z) \), для которых расстояние до точки \( (0,-3,0) \) равно удвоенному расстоянию до точки \( (0,6,0) \). Это записывается как \( \sqrt{x^2 + (3 + y)^2 + z^2} = 2 \sqrt{x^2 + (6 — y)^2 + z^2} \). Для упрощения избавимся от квадратных корней, возведя обе части уравнения в квадрат, что даёт \( x^2 + (3 + y)^2 + z^2 = 4 \left( x^2 + (6 — y)^2 + z^2 \right) \). Таким образом, мы получили уравнение, в котором нет корней, что значительно упрощает дальнейшие преобразования.

Далее раскрываем скобки справа и переносим все слагаемые в одну сторону для удобства группировки: \( x^2 + (3 + y)^2 + z^2 — 4x^2 — 4(6 — y)^2 — 4z^2 = 0 \). Сгруппировав подобные члены, получаем \( -3x^2 + (3 + y)^2 — 4(6 — y)^2 — 3z^2 = 0 \). Теперь раскроем квадратные выражения: \( (3 + y)^2 = 9 + 6y + y^2 \) и \( (6 — y)^2 = 36 — 12y + y^2 \). Подставляя обратно, получаем \( -3x^2 + 9 + 6y + y^2 — 4(36 — 12y + y^2) — 3z^2 = 0 \). Раскрывая множитель и упрощая, складываем подобные слагаемые, что приводит к уравнению \( -3x^2 — 3z^2 — 3y^2 + 54y — 135 = 0 \).

Для удобства умножаем уравнение на \(-1\), чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов, и делим на 3, получая \( x^2 + y^2 + z^2 — 18y + 45 = 0 \). Выделяем полный квадрат по переменной \( y \), используя формулу \( y^2 — 18y = (y — 9)^2 — 81 \). Подставляя это, получаем \( x^2 + z^2 + (y — 9)^2 — 81 + 45 = 0 \), что эквивалентно \( x^2 + (y — 9)^2 + z^2 = 36 \). Итоговое уравнение описывает сферу с центром в точке \( (0, 9, 0) \) и радиусом \( 6 \).