ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 12.26 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Даны точки \(A(2; 1; -2)\) и \(B(6; 5; 2)\). Составьте уравнение геометрического места точек пространства, расстояние от которых до точки \(A\) в 3 раза меньше расстояния до точки \(B\).

Пусть точка \( M(x;y;z) \) — искомая точка. По условию расстояние \( MA \) от \( M \) до \( A(2;1;-2) \) в 3 раза меньше расстояния \( MB \) до \( B(6;5;2) \), то есть \( MA = \frac{1}{3} MB \).

Запишем расстояния и возведём в квадрат: \( (x-2)^2 + (y-1)^2 + (z+2)^2 = \frac{1}{9} \big((x-6)^2 + (y-5)^2 + (z-2)^2\big) \). Умножим на 9 и раскроем скобки.

Получим уравнение \( 9((x-2)^2 + (y-1)^2 + (z+2)^2) = (x-6)^2 + (y-5)^2 + (z-2)^2 \), что после раскрытия и упрощения даёт \( x^2 — 3x + y^2 — y + z^2 + 5z — \frac{5}{2} = 0 \).

Дополним квадраты: \( (x-\frac{3}{2})^2 + (y-\frac{1}{2})^2 + (z+\frac{5}{2})^2 = \frac{27}{4} \). Это уравнение сферы с центром \( \left(\frac{3}{2}; \frac{1}{2}; -\frac{5}{2}\right) \) и радиусом \( \frac{3\sqrt{3}}{2} \).

1. Пусть точка \( M(x;y;z) \) — произвольная точка пространства. По условию расстояние от точки \( M \) до точки \( A(2;1;-2) \) в 3 раза меньше расстояния от точки \( M \) до точки \( B(6;5;2) \). Это можно записать как равенство \( MA = \frac{1}{3} MB \), где \( MA = \sqrt{(x-2)^2 + (y-1)^2 + (z+2)^2} \) и \( MB = \sqrt{(x-6)^2 + (y-5)^2 + (z-2)^2} \).

2. Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней: \( (x-2)^2 + (y-1)^2 + (z+2)^2 = \frac{1}{9} \big((x-6)^2 + (y-5)^2 + (z-2)^2\big) \). Умножим обе части на 9, получим \( 9((x-2)^2 + (y-1)^2 + (z+2)^2) = (x-6)^2 + (y-5)^2 + (z-2)^2 \).

3. Раскроем скобки: слева \( 9(x^2 — 4x + 4 + y^2 — 2y + 1 + z^2 + 4z + 4) = 9x^2 — 36x + 36 + 9y^2 — 18y +\)
\(+ 9 + 9z^2 + 36z + 36 \), справа \( x^2 — 12x + 36 + y^2 — 10y + 25 + z^2 — 4z + 4 \).

4. Перенесём все слагаемые в одну сторону: \( 9x^2 — x^2 — 36x + 12x + 9y^2 — y^2 — 18y + 10y + 9z^2 — z^2 + 36z + 4z + 36 +\)
\(+ 9 + 36 — 36 — 25 — 4 = 0 \). Упростим: \( 8x^2 — 24x + 8y^2 — 8y + 8z^2 + 40z + 16 = 0 \).

5. Разделим уравнение на 8: \( x^2 — 3x + y^2 — y + z^2 + 5z + 2 = 0 \). Дополним квадраты для каждого переменного: \( x^2 — 3x = (x — \frac{3}{2})^2 — \frac{9}{4} \), \( y^2 — y = (y — \frac{1}{2})^2 — \frac{1}{4} \), \( z^2 + 5z = (z + \frac{5}{2})^2 — \frac{25}{4} \).

6. Подставим в уравнение: \( (x — \frac{3}{2})^2 — \frac{9}{4} + (y — \frac{1}{2})^2 — \frac{1}{4} + (z + \frac{5}{2})^2 — \frac{25}{4} + 2 = 0 \). Сложим свободные члены: \( -\frac{9}{4} — \frac{1}{4} — \frac{25}{4} + 2 = -\frac{35}{4} + 2 = -\frac{27}{4} \).

7. Перепишем уравнение: \( (x — \frac{3}{2})^2 + (y — \frac{1}{2})^2 + (z + \frac{5}{2})^2 = \frac{27}{4} \). Это уравнение сферы с центром \( \left(\frac{3}{2}; \frac{1}{2}; -\frac{5}{2}\right) \) и радиусом \( \frac{3\sqrt{3}}{2} \).