ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 12.28 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите длину окружности, описанной около равнобокой трапеции с основаниями 6 см и 8 см и высотой 7 см.

Найдём половину разности оснований \( EH = \frac{8 — 6}{2} = 1 \) см.

Вычислим боковую сторону \( AB = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \) см.

Найдём диагональ \( BD = \sqrt{7^2 + 7^2} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2} \) см.

Синус угла при \( B \): \( \sin \alpha = \frac{7}{5\sqrt{2}} \).

Радиус описанной окружности \( R = \frac{BD}{2 \sin \alpha} = \frac{7\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{7}{5\sqrt{2}}} = 5 \) см.

Длина окружности \( C = 2 \pi R = 10 \pi \) см.

Рассмотрим равнобокую трапецию с основаниями \( BC = 6 \) см и \( AD = 8 \) см, высотой \( BH = 7 \) см. Чтобы найти длину описанной окружности, сначала определим длину боковой стороны \( AB \). Для этого отметим, что высота опускается перпендикулярно к основанию \( AD \), образуя прямоугольный треугольник \( ABH \). Половина разности оснований равна \( EH = \frac{8 — 6}{2} = 1 \) см, так как точка \( H \) — основание высоты, а \( E \) — проекция вершины \( B \) на основание \( AD \). Тогда длина боковой стороны \( AB \) вычисляется по теореме Пифагора как \( AB = \sqrt{BH^{2} + EH^{2}} = \sqrt{7^{2} + 1^{2}} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2} \) см.

Далее найдём длину диагонали \( BD \). Треугольник \( BHD \) также прямоугольный, где \( BH = 7 \) см — высота, а \( HD = BH = 7 \) см, поскольку \( H \) — середина основания \( AD \) минус половина основания \( BC \). Тогда диагональ равна \( BD = \sqrt{BH^{2} + HD^{2}} = \sqrt{7^{2} + 7^{2}} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} = 7 \sqrt{2} \) см.

Для нахождения радиуса описанной окружности \( R \) используем формулу \( R = \frac{BD}{2 \sin \alpha} \), где \( \alpha \) — угол при вершине \( B \). Найдём \( \sin \alpha \) в треугольнике \( ABH \) как отношение противолежащего катета \( BH \) к гипотенузе \( AB \), то есть \( \sin \alpha = \frac{BH}{AB} = \frac{7}{5 \sqrt{2}} \). Подставим значения в формулу радиуса: \( R = \frac{7 \sqrt{2}}{2 \cdot \frac{7}{5 \sqrt{2}}} = \frac{7 \sqrt{2}}{\frac{14}{5 \sqrt{2}}} = 7 \sqrt{2} \cdot \frac{5 \sqrt{2}}{14} = \frac{7 \cdot 5 \cdot 2}{14} = 5 \) см. Наконец, длина описанной окружности равна \( C = 2 \pi R = 2 \pi \cdot 5 = 10 \pi \) см.