ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 12.4 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Отрезок АВ — диаметр сферы, М — произвольная точка сферы. Докажите, что \(\angle AMB = 90^\circ\).

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен половине дуги, на которую он опирается.

Диаметр соответствует дуге в 180 градусов, значит угол равен \( \frac{1}{2} \cdot 180 = 90 \) градусов.

Следовательно, \( \angle AMB = 90^\circ \).

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны проходят через две другие точки окружности. Если этот угол опирается на диаметр, то дуга, на которую он опирается, равна 180 градусам, так как диаметр делит окружность пополам. По свойству вписанного угла, его величина равна половине величины дуги, на которую он опирается.

Поскольку диаметр соответствует дуге в 180 градусов, то величина вписанного угла, опирающегося на этот диаметр, равна \( \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ \). Это значит, что любой вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым.

Таким образом, если \( AB \) — диаметр, а \( M \) — произвольная точка на окружности, то угол \( AMB \) равен 90 градусам, то есть \( \angle AMB = 90^\circ \). Это важное свойство помогает доказывать многие теоремы и решать задачи, связанные с окружностями.