ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 12.5 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что центр сферы является её центром симметрии.

Докажем, что \(O\) — центр симметрии.

Пусть \(B\) — точка сферы, тогда \(OB = r\).

Рассмотрим точку \(B’\), симметричную \(B\) относительно \(O\). Тогда \(OB’ = OB = r\).

Значит, \(B’\) тоже лежит на сфере, следовательно, \(O\) — центр симметрии.

Пусть \(O\) — центр сферы, а \(r\) — её радиус. По определению сферы, все точки \(B\) на поверхности находятся на расстоянии \(r\) от центра, то есть \(OB = r\). Это значит, что точка \(B\) удовлетворяет условию \(OB = r\), где \(O\) — фиксированная точка, а \(B\) — любая точка на сфере.

Рассмотрим точку \(B’\), которая является симметричной точке \(B\) относительно центра \(O\). По свойству центра симметрии, точка \(O\) является серединой отрезка \(BB’\). Следовательно, \(OB = OB’\). Поскольку \(OB = r\), то и \(OB’ = r\). Это означает, что точка \(B’\) также находится на поверхности сферы, так как она удалена от центра на то же расстояние \(r\).

Таким образом, для любой точки \(B\) на сфере существует точка \(B’\), симметричная относительно \(O\), которая тоже принадлежит сфере. Значит, центр \(O\) является центром симметрии сферы, потому что при симметрии относительно \(O\) множество точек сферы отображается в себя.