ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 13.1 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Даны сфера радиусом 6 см и плоскость \(\alpha\). Каким должно быть расстояние от центра сферы до плоскости \(\alpha\), чтобы:

1) сфера и плоскость не имели общих точек;

2) сфера и плоскость имели одну общую точку;

3) пересечением сферы и плоскости являлась окружность;

4) пересечением сферы и плоскости являлась окружность наибольшей возможной длины?

Расстояние от центра сферы до плоскости обозначим \(d\).

1) Сфера и плоскость не имеют общих точек, значит \(d > 6\).

2) Сфера и плоскость касаются, значит \(d = 6\).

3) Пересечение — окружность, значит \(d < 6\). 4) пересечением сферы и плоскости являлась окружность наибольшей возможной длины \(d < 6\).

Дано: сфера радиусом \(6\) см и плоскость \(\alpha\). Обозначим расстояние от центра сферы до плоскости через \(d\).

1) Если сфера и плоскость не имеют общих точек, это означает, что плоскость находится вне сферы, то есть расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы. Геометрически это значит, что плоскость не пересекает сферу и не касается её. Следовательно, \(d > 6\).

2) Если сфера и плоскость имеют одну общую точку, то плоскость касается сферы. В этом случае расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, потому что касательная плоскость проходит на расстоянии ровно радиуса от центра. Значит, \(d = 6\).

3) Если пересечением сферы и плоскости является окружность, это значит, что плоскость пересекает сферу, проходя через неё, но не касаясь её в одной точке. В этом случае расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то есть \(d < 6\). При этом пересечение образует окружность, радиус которой зависит от расстояния \(d\). 4) Пересечением сферы и плоскости является окружность наибольшей возможной длины. Максимальная длина окружности достигается, когда плоскость проходит через центр сферы, то есть расстояние от центра сферы до плоскости минимально и равно нулю. Но в условии указано \(d < 6\), что включает и этот случай. Таким образом, для максимальной окружности \(d < 6\), и в частном случае \(d = 0\) окружность будет иметь максимальный радиус, равный самому радиусу сферы. Итог: