ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 13.10 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Через конец диаметра шара радиусом \(R\) проведена плоскость, образующая с этим диаметром угол \(\alpha\), \(\alpha \neq 90^\circ\). Найдите площадь образовавшегося сечения шара.

Через конец диаметра \(O_1\) проведена плоскость под углом \(\alpha\). В треугольнике \(OO_1d\) по определению косинуса: \(\cos \alpha = \frac{O_1d}{R}\), откуда \(O_1d = R \cos \alpha\).

Площадь сечения равна площади круга с радиусом \(O_1d\), то есть \(S_{cer} = \pi (O_1d)^2 = \pi R^2 \cos^2 \alpha\).

Рассмотрим шар радиусом \(R\) с центром в точке \(O\). Через конец диаметра \(O_1\) проведена плоскость, образующая с этим диаметром угол \(\alpha\), где \(\alpha \neq 90^\circ\). Чтобы найти площадь сечения, нужно определить радиус круга, который получается при пересечении плоскости с шаром.

В треугольнике \(OO_1d\), где \(d\) — точка пересечения плоскости с диаметром, угол между радиусом \(OO_1\) и отрезком \(O_1d\) равен \(\alpha\). По определению косинуса угла имеем \(\cos \alpha = \frac{O_1d}{R}\). Отсюда следует, что длина отрезка \(O_1d\) равна \(R \cos \alpha\).

Площадь сечения — это площадь круга с радиусом \(O_1d\), то есть \(S_{cer} = \pi (O_1d)^2\). Подставляя значение \(O_1d\), получаем \(S_{cer} = \pi (R \cos \alpha)^2 = \pi R^2 \cos^{2} \alpha\). Таким образом, площадь сечения зависит от радиуса шара и угла \(\alpha\) через косинус в квадрате.