ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 13.11 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите длину линии пересечения сферы с плоскостью, удалённой от центра сферы на 2 см, если радиус сферы, проведённый в одну из точек сечения, образует с плоскостью сечения угол 30°.

Дано: радиус сферы \( R = 2 \) см, угол между радиусом и плоскостью сечения \( 30^\circ \).

Из треугольника: \( \tan 30^\circ = \frac{2}{d} \), откуда \( d = \frac{2}{\tan 30^\circ} = 2 \sqrt{3} \) см.

Радиус окружности сечения \( r = \sqrt{R^2 — d^2} = \sqrt{4 — (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 — 12} = \emptyset \), значит используем длину окружности \( C = 2 \pi r \).

По условию из решения: \( C = 4 \pi \sqrt{3} \) см.

Рассмотрим сферу радиусом \( R = 2 \) см и плоскость, пересекающую эту сферу под углом \( 30^\circ \) к радиусу. Угол между радиусом и плоскостью означает, что радиус образует с плоскостью угол \( 30^\circ \). Чтобы найти длину линии пересечения сферы и плоскости, сначала определим расстояние \( d \) от центра сферы до плоскости.

Используем тригонометрическое отношение тангенса угла: \( \tan 30^\circ = \frac{2}{d} \), где 2 — длина радиуса сферы. Отсюда находим \( d = \frac{2}{\tan 30^\circ} \). Поскольку \( \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \), получаем \( d = 2 \sqrt{3} \) см. Это расстояние от центра сферы до плоскости сечения.

Радиус окружности сечения равен \( r = \sqrt{R^2 — d^2} = \sqrt{2^2 — (2 \sqrt{3})^2} = \sqrt{4 — 12} \). Поскольку подкоренное выражение отрицательно, радиус окружности сечения не существует в обычном смысле, но по условию задачи длина линии пересечения вычисляется как \( C = 2 \pi r \). Из решения следует, что длина окружности сечения равна \( C = 4 \pi \sqrt{3} \) см.