ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 13.12 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что сечения сферы, плоскости которых равноудалены от её центра, имеют равные радиусы.

Так как сечения равноудалены от центра сферы, то расстояния от центра до плоскостей равны: \( d_1 = d_2 \).

Радиус сечения вычисляется по формуле \( r = \sqrt{R^2 — d^2} \).

Следовательно, радиусы сечений равны: \( r_1 = r_2 \).

Рассмотрим сферу с центром в точке \( O \) и радиусом \( R \). Пусть есть две плоскости, которые пересекают эту сферу, и расстояния от центра сферы до этих плоскостей равны, то есть \( d_1 = d_2 = d \). Это означает, что обе плоскости расположены на одинаковом расстоянии от центра сферы.

При пересечении сферы плоскостью получается круг, радиус которого зависит от расстояния \( d \) от центра сферы до плоскости. Радиус этого круга вычисляется по формуле \( r = \sqrt{R^{2} — d^{2}} \), где \( R \) — радиус сферы, а \( d \) — расстояние от центра сферы до плоскости сечения. Эта формула получается из теоремы Пифагора, применённой к треугольнику, образованному радиусом сферы, расстоянием до плоскости и радиусом сечения.

Поскольку расстояния от центра сферы до обеих плоскостей равны, то радиусы сечений будут одинаковыми: \( r_1 = \sqrt{R^{2} — d_1^{2}} = \sqrt{R^{2} — d^{2}} \) и \( r_2 = \sqrt{R^{2} — d_2^{2}} = \sqrt{R^{2} — d^{2}} \). Следовательно, радиусы сечений равны, что и требовалось доказать.