ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 13.13 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что из двух сечений сферы больший радиус имеет сечение, плоскость которого менее удалена от центра сферы.

Больший радиус сечения имеет плоскость, которая расположена ближе к центру сферы.

Пусть \( R \) — радиус сферы, \( d \) — расстояние от центра сферы до плоскости сечения, \( r \) — радиус сечения. Тогда по теореме Пифагора:

\( r = \sqrt{R^2 — d^2} \).

Если \( d_1 < d_2 \), то

\( r_1 = \sqrt{R^2 — d_1^2} > \sqrt{R^2 — d_2^2} = r_2 \).

Это следует из неравенства треугольника, так как при уменьшении расстояния \( d \) радиус сечения увеличивается.

Рассмотрим сферу радиуса \( R \) и две плоскости, которые пересекают эту сферу, образуя два круговых сечения с радиусами \( r_1 \) и \( r_2 \). Пусть расстояния от центра сферы до этих плоскостей равны \( d_1 \) и \( d_2 \) соответственно. По определению сечения сферы радиус сечения связан с расстоянием до центра сферой формулой \( r = \sqrt{R^2 — d^2} \). Это выражение получается из теоремы Пифагора, если рассмотреть прямоугольный треугольник с гипотенузой \( R \), катетами \( d \) и \( r \).

Если одна из плоскостей расположена ближе к центру сферы, то есть \( d_1 < d_2 \), то подкоренное выражение \( R^2 — d^2 \) будет больше для меньшего \( d \), так как \( d^2 \) меньше. Следовательно, радиус сечения \( r_1 = \sqrt{R^2 — d_1^2} \) будет больше, чем \( r_2 = \sqrt{R^2 — d_2^2} \). Это показывает, что сечение с плоскостью, расположенной ближе к центру сферы, имеет больший радиус.

Это утверждение можно также объяснить с помощью неравенства треугольника: если рассмотреть отрезки от центра сферы до точек пересечения плоскости и сферы, то при уменьшении расстояния от центра до плоскости длина хорды (радиус сечения) увеличивается. Таким образом, больший радиус сечения соответствует плоскости, которая находится ближе к центру сферы.