ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 13.15 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сфера, радиус которой равен \(R\), касается граней двугранного угла, равного \(\alpha\). Найдите расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла.

Сфера радиуса \(R\) касается граней двугранного угла \(\alpha\). Расстояние от центра сферы до ребра равно \(OC\).

Так как расстояние от центра сферы до каждой грани равно \(R\), то из треугольника с углом \(\alpha\) получаем формулу:

\(OC = \frac{R}{\sin \alpha}\).

Для \(\alpha = 60^\circ\):

\(OC = \frac{R}{\sin 60^\circ} = \frac{2R}{\sqrt{3}}\).

Сфера радиуса \(R\) касается двух граней двугранного угла с величиной \(\alpha\). Это означает, что расстояние от центра сферы до каждой из граней равно \(R\), так как касание происходит в одной точке на каждой грани. Центр сферы находится на одинаковом расстоянии от обеих граней, следовательно, он лежит на биссектрисе двугранного угла.

Чтобы найти расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла, рассмотрим перпендикуляр из центра сферы на ребро. Обозначим это расстояние как \(OC\). Угол между гранями равен \(\alpha\), и расстояния от центра сферы до граней равны \(R\). Используя треугольник, образованный биссектрисой и перпендикулярами на грани, можно записать соотношение для расстояния \(OC\).

В этом треугольнике расстояние от центра сферы до грани равно \(R\), а угол при вершине равен \(\alpha\). По определению синуса в прямоугольном треугольнике:

\(R = OC \sin \alpha\),

откуда

\(OC = \frac{R}{\sin \alpha}\).

Таким образом, расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла выражается через радиус сферы и угол \(\alpha\). Для конкретного значения \(\alpha = 60^\circ\) подставляем:

\(OC = \frac{R}{\sin 60^\circ} = \frac{R}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2R}{\sqrt{3}}\).

Это совпадает с результатом, приведённым на фото.