ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 13.16 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Расстояние от центра шара, касающегося граней двугранного угла, до его ребра равно 8 см. Найдите площадь большого круга шара, если величина двугранного угла равна 120°.

Расстояние от центра шара до ребра двугранного угла равно \(R = 8\) см. Величина двугранного угла \(120^\circ\).

Радиус шара \(r = \frac{R}{\sin 60^\circ} = \frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 8 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}} = 4 \sqrt{3}\) см.

Площадь большого круга \(S = \pi r^2 = \pi (4 \sqrt{3})^2 = 48 \pi\) см².

Двугранный угол равен \(120^\circ\), и расстояние от центра шара до ребра этого угла равно \(8\) см. Чтобы найти площадь большого круга шара, сначала нужно определить радиус шара. Расстояние от центра шара до ребра двугранного угла связано с радиусом шара и половиной величины угла через синус. Формула выглядит так: \(R = r \sin \frac{\alpha}{2}\), где \(R\) — расстояние до ребра, \(r\) — радиус шара, а \(\alpha\) — величина двугранного угла.

Подставим известные значения в формулу: \(8 = r \sin 60^\circ\). Значение \(\sin 60^\circ\) равно \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), значит уравнение принимает вид \(8 = r \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\). Чтобы найти радиус \(r\), нужно обе части уравнения умножить на обратное значение синуса, то есть на \(\frac{2}{\sqrt{3}}\). Получаем \(r = 8 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}}\). Для удобства радиус можно записать в виде \(4 \sqrt{3}\), умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\).

Теперь, когда радиус известен, можно вычислить площадь большого круга шара. Площадь круга определяется формулой \(S = \pi r^2\). Подставим радиус: \(S = \pi (4 \sqrt{3})^2\). Возводя в квадрат, получаем \(4^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48\). Следовательно, площадь большого круга равна \(48 \pi\) квадратных сантиметров.