ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 13.18 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Вершины прямоугольника лежат на сфере радиусом 26 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его стороны равны 12 см и 16 см.

Длина диагонали прямоугольника \(AC = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = 20\) см.

Половина диагонали \(AK = \frac{20}{2} = 10\) см.

Расстояние от центра сферы \(O\) до вершины \(A\) равно радиусу сферы \(OA = 26\) см.

Расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника \(OK = \sqrt{OA^2 — AK^2} = \sqrt{26^2 — 10^2} = \sqrt{676 — 100} = 24\) см.

Прямоугольник с длинами сторон 16 см и 12 см имеет диагональ, которую можно найти по теореме Пифагора. Диагональ равна \(AC = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20\) см. Это расстояние между противоположными вершинами прямоугольника.

Поскольку вершины лежат на сфере радиуса 26 см, каждая вершина находится на расстоянии 26 см от центра сферы \(O\). Точка \(K\) — середина диагонали \(AC\), то есть \(AK = \frac{20}{2} = 10\) см. Центр сферы, середина диагонали и вершина образуют прямоугольный треугольник, где гипотенуза — радиус сферы, а один из катетов — половина диагонали.

Расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника — это длина перпендикуляра \(OK\) из центра сферы на плоскость. По теореме Пифагора в треугольнике \(OAK\) имеем \(OK = \sqrt{OA^2 — AK^2} = \sqrt{26^2 — 10^2} = \sqrt{676 — 100} = \sqrt{576} = 24\) см. Таким образом, центр сферы находится на расстоянии 24 см от плоскости прямоугольника.